Über gewisse Teilsummen von \(\sum \varphi(n)\). (Q572035)

Verf. geht aus von der über alle ganzen \(n\) erstreckten Summe \[ \sum_{n=1}^x \varphi(n) = \varPhi(x), \tag{1} \] wo \(\varphi(n)\) die \textit{Euler}sche Funktion bezeichnet, und für die bekanntlich \[ \varPhi(x) = \frac{3}{\pi^2}\, x^2 + O(x\log x) \tag{2} \] gilt. Verf. betrachtet Teilsummen von (1), die dadurch entstehen, daß \(n\) gewissen Teilbarkeitsbedingungen unterworfen wird, und zwar soll eine Primzahl \(p\) vorgegeben und \(n\) einer der Zahlen aus der Reihe \(0, 1, \dots, p - 1\) mod \(p\) kongruent sein. Es ergibt sich merkwürdigerweise, daß nicht die einzelnen Summen einander asymptotisch gleich sind, sondern daß die unter der Bedingung \[ n \equiv 0 \;\;(\text{mod }p) \] erstreckte Teilsumme \(\varPsi(x)\) von (1) asymptotisch der \((p + 1)\)-te Teil von \(\varPhi(x)\) ist, daß also gemäß (2) \[ \varPsi(x) = \frac{3}{\pi^2}\, \frac{x^2}{p+1} + O(x\log x) \tag{3} \] gilt. Beim Beweis von (3) spielt neben (2) die elementar zugängliche Funktionalgleichung für die unter der Bedingung \[ (n, p) = 1 \] erstreckte Teilsumme \(\chi (n)\) von (1) \[ \chi(x) - \chi\left(\frac xp\right) = \varPhi(x) - p\varPhi\left(\frac xp\right) \] eine Rolle. \ \ (III 8.)