Zur Theorie der zahlentheoretischen Funktion \(\mu(n)\). (Q572036)

Verf. knüpft an an die klassische Formel \[ \sum_{d| n} \mu(d) = \begin{cases} 1 & \text{ für }\;n > 1, \\ 0 & \text{ für }\;n = 1. \end{cases} \] Er betrachtet zunächst Teilsummen dieser Summe und gelangt zu folgendem Ergebnis: Addiert man die Werte \(\mu (n)\) der in den Intervallen \(x \geqq n > \dfrac x2\), \ \(\dfrac x3 \geqq n > \dfrac x4\), \(\dfrac x5 \geqq n > \dfrac x6\), \dots gelegenen Indices \(n\), so ergibt sich die Summe gleich \(-1\), wenn \(x \geqq 2\) ist. Dieser Satz wird begründet zunächst von der klassischen Beziehung \[ \sum_n \mu(n) \left[\dfrac xn\right] = \begin{cases} 1 & \text{ für } \;x \geqq 1, \\ 0 & \text{ für } \;x < 1 \end{cases} \] aus und außerdem durch Betrachtung des Verhaltens der fraglichen Summe bei stetig sich veränderndem \(x\). Ferner beweist der Verf: \[ \sum_{d| n} \mu(d) \log d = \begin{cases} -\log p & \text{ für } \;n = p^\nu \qquad (\nu \geqq 1), \\ 0 & \qquad \text{ sonst. } \end{cases} \] Der Beweis beruht auf kombinatorischen Betrachtungen über das Auftreten der in \(n\) aufgehenden Primzahlen als Teiler des mit der obigen Summe zusammenhängenden Produktes \(\prod\limits_{d| n} d^{\mu(d)}\). Auf Grund von Betrachtungen für stetig wachsendes \(x\) ergeben sich ferner Formeln für die Funktion \[ \psi(x) = \sum_{n=1}^x \varLambda (n) \quad \text{ mit } \quad \varLambda (n) = \begin{cases} \log p & \text{ für } n = p^\nu, \\ 0 & \qquad \text{ sonst,} \end{cases} \] die mit den obigen eng verwandt sind. \ \ (III 8.)