Über eine Art von Reziprozität bei summatorischen Funktionen. (Q572037)

Verf. knüpft an \textit{Lipschitz} (vgl. \textit{C. Hermite, R. Lipschitz}; Acta Math. 2 (1883), 299-304; F. d. M. 15, 136 (JFM 15.0136.*)) und an eine eigene Arbeit (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 157) an. Es werde \[ \varepsilon (x, m, n) = \begin{cases} 1 & \text{ für } m^k n^l \leqq x, \\ 0 & \qquad \text{ sonst} \end{cases} \] für nicht negatives \(x\) und positive \(k\) und \(l\) gesetzt und für zwei zahlentheoretische Funktionen \(f\) und \(g\) das Doppelschema der Werte \[ f(m) g (n) \varepsilon (x, m, n) \tag{1} \] gebildet. Ferner werde \[ F(x) = \sum_{m\leqq x} f(m), \qquad G(x) = \sum_{n\leqq x} g(n) \] gesetzt. Es ergibt sich leicht \[ \sum_m f(m) G\left(\root l\of{\dfrac{x}{m^k}}\right) = \sum_n g(n) F\left( \root k\of{\dfrac{x}{n^l}}\right), \tag{2} \] wobei in (1) rechts zunächst nach Zeilen und links nach Kolonnen summiert wird. (2) wird dann auf die Fälle \[ \begin{matrix} \l \\ f (m) = g (n) = 1; \qquad f(m) = 1, \quad g(n) = \mu (n); \\ f (m) = 1, \quad g(n) = \lambda(n) \quad \text{ mit } \quad \lambda(n) = (-1)^{\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_p}, \quad n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}; \\ f(m) = \left\{\begin{matrix} \log p \;\;\text{ für } \;m=p \\ 0 \qquad \text{ sonst } \end{matrix}\right\}, \quad g(1) = 1, \quad k = 1; \end{matrix} \] angewendet. \ \ (III 8.)