Factorability of numerical functions. (Q572038)

Die vorliegende Note knüpft an eine ausführlichere Arbeit des Verf. (1928; F. d. M. 54, 166 (JFM 54.0166.*)-167) über zahlentheoretische Funktionen an. Eine zahlentheoretische Funktion \(f(m)\), die mit \((m, n) = 1\), \(m \geqq 1\), \(n \geqq 1\) stets \[ f(mn) = f(m)\, f(n) \tag{1} \] genügt, nennt Verf. ``faktorabel'' (in Deutschland ist dafür die Bezeichnung ``distributiv'' üblich); ferner nennt er sie ``regulär'' oder ``irregulär'', je nachdem \(f(1) \neq 0\) oder \(= 0\) ist. Aus den regulären zahlentheoretischen Funktionen \(f(m)\) und \(g(m)\) bildet Verf. die zahlentheoretische Funktion \[ h(n) = \sum_{d| n} f(d) g\left(\dfrac nd\right) \tag{2} \] und beweist, daß, wenn \(h(n)\) faktorabel ist, \(f(m)\) und \(g(m)\) entweder beide faktorabel oder beide nicht faktorabel sind. Durch (2) definiert Verf. eine Multiplikation der zahlentheoretischen Funktionen, die assoziativ und kommutativ ist; das Einheitselement ist diejenige Funktion, die gleich Eins für \(m =1\) und sonst Null ist; \(f\) besitzt eine eindeutige Reziproke dann und nur dann, wenn \(f\) regulär ist. Potenzen einer regulären \(f\) mit \textit{ganzzahligen} Exponenten \(r\) werden wie üblich erklärt; ist \(r\) rational \(= \dfrac ab\), \((a, b) = 1\), so wird \(f^r = g\) definiert durch \(f^a = g^b\). Es gelten folgende Sätze: Ist \(f\) regulär, so ist \(f^r\) dann und nur dann faktorabel, wenn \(f\) faktorabel ist. Sind \(f, g, \dots, h\) faktorabel und regulär, so ist mit beliebigen rationalen \(a, b, \dots, c\) stets auch \(f^a g^b \cdots h^c\) faktorabel. Sind \(f, g, \dots, h\) regulär, und ist \[ f^a g^b \cdots h^c = k \] faktorabel, so sind entweder \(f, g, \dots, h\) sämtlich faktorabel oder genau eins unter \(f, g, \dots, h\) ist nicht faktorabel.