On a theorem of von Sterneck. (Q572044)

Es sei \(\psi(x, y)\) eine zahlentheoretische Funktion mit den im vorstehenden Referat genannten Eigenschaften. Ferner werde noch vorausgesetzt, daß \(\psi(\psi(x, y), n) \neq n\) ist, falls \(\psi(x, n) \neq n\) und \(\psi (y, n) \neq n\) ist. Verf. zeigt, daß das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von \(x\) und \(y\), ferner Max \((x, y)\) solche Funktionen \(\psi(x, y)\) sind. Die einzigen Polynome, die diese Eigenschaft haben, sind die Polynome \[ Axy - (A - 1)(x + y - 1), \] wo \(A\) nicht negativ und ganz ist. Für jede Funktion \(\psi(x, y)\) gilt ferner: Es seien \(f(x)\) und \(g(x)\) beliebige zahlentheoretische Funktionen; man setze \[ h(n) = \sum f(k) g(l), \] wo die Summation über alle diejenigen Paare \(k, l\) zu erstrecken ist, für die \(\psi (k, l) = n\) ist; ferner sei \[ F(n) = \sum f(a), \quad G(n) = \sum g(a), \quad H(n) = \sum h(a), \] wo \(a\) alle Zahlen durchläuft, für die \(\psi(a, n) = n\) ist. Dann ist \(H(n) = F(n) G(n)\). Ist \(\psi(x, y)\) speziell das kleinste gemeinsame Vielfache von \(x\) und \(y\), so sind \(F(n)\), \(G (n)\), \(H(n)\) die summatorischen Funktionen \(\sum\limits_{d| n} f(d)\), \(\sum\limits_{d| n} g(d)\), \(\sum\limits_{d| n} h(d)\), und man erhält einen Satz von \textit{von Sterneck} (1894; F. d. M. 25, 275 (JFM 25.0275.*)).