Functional equations for totients. (Q572048)

Man definiere für irgendeine natürliche Zahl \(n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_r^{\alpha_r}\) und eine beliebige (reelle oder komplexe) Zahl \(k\) die Totiente \(\varphi_k(n)\) der Ordnung \(k\) durch \[ \varphi_k(n) = n^k (1-p_1^{-k}) \dots (1-p_r^{-k}); \] im Falle einer natürlichen Ordnung \(k\) hat \(\varphi_k (n)\) eine bekannte zahlentheoretische Bedeutung. Verf. gibt einige Sätze an, die zeigen, daß die Funktionen \(\varphi_k (n)\) unter geeigneten Beschränkungen die einzige Lösung gewisser Funktionalgleichungen sind, z. B: Eine zahlentheoretische Funktion \(f(n)\) heiße separabel, wenn für eine Primzahlpotenz \(p^\alpha\) gilt: \[ f(p^\alpha) = g(p)\, h(p^{\alpha-1}) \] mit gewissen andern Funktionen \(g(n)\) und \(h(n)\); ist dabei \(h(y)\) von der Form \(\sum\limits_{\sigma=1}^s (a_\sigma y^\sigma + b_\sigma y^{-\sigma})\) mit konstanten \(a_\sigma\), \(b_\sigma\) und \(a_\varrho b_\varrho \neq 0\), so heiße \(f\) einfach separabel mit der Spanne \(s\). Ferner bedeute \(f^2(n)\) die zahlentheoretische Funktion \[ f^2(n) = \sum f(r)\, f(s), \] wobei man zu summieren hat über alle Paare natürlicher Zahlen \(r, s\), deren kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches den Wert \(n\) hat. Schließlich setze man noch \[ (p^\alpha = y, \;p = x) \qquad f(x, y) = f(p^\alpha) = g(x)\, h(y). \] Unter diesen Voraussetzungen ist \(f(n) = \varphi_k(n)\) die einzige einfach separable Lösung \(f(x, y)\) der Gleichung \[ f^2(x, y) = f(x^2, y^2) \] mit beliebigem komplexem, von Null verschiedenem \(k\). Ähnlicher Natur sind die andern Sätze der Arbeit.