Some arithmetical properties of sequences satisfying a linear recursion relation. (Q572055)

Ist \((U)_n\) eine Folge von ganzen Zahlen, die der Rekursionsgleichung \[ \varOmega_{N+1+n} = P_1 Q_{N+n} + P_2Q_{N+n-1} + \cdots + P_{N+1} \varOmega_n \] genügt mit ganzen Koeffizienten \(P\) und vorgegebenen ganzen Anfangswerten \(U_0, U_1, \dots, U_N\), so heißt \[ F(x) = x^{N+ 1} - P_1 x^N - \cdots - P_{N+1} \] charakteristische Funktion der Folge. Die Wurzeln der Gleichung \(F(x) = 0\) mögen mit \(\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_N\), ihre Potenzsummen \(\alpha_0^m + \alpha_1^m + \cdots + \alpha_N^m\) mit \(\{m\}\) bezeichnet werden. Ist dann \(F(x)\) mod einer Primzahl \(p\) irreduzibel, so gilt: \[ U_{n+m} + U_{n+pm} + U_{n+p^2 m}+ \cdots + U_{n+p^Nm}\equiv U_n\{m\}\;(\text{mod } p). \tag{1} \] Ist weiter \(N\) gerade, und bezeichnet \(M(r_0, r_1, \dots, r_N)\) die Determinante \[ \left|\alpha_\varkappa^{r_\lambda}\right| \qquad (\varkappa, \lambda = 0, 1, \dots, N) \] (eine Verallgemeinerung der bekannten \textit{Vandermonde}schen Determinante), mit festen Exponenten \(r_\lambda\), so gilt: \[ M(r_0, r_1, \dots, r_N) \equiv \sum_{(\varkappa)}\pm \{r_0 + pr_{\varkappa_1} + p^2r_{\varkappa_2} +\cdots + p^Nr_{\varkappa_n}\} \;(\text{mod } p), \tag{2} \] wobei rechts die Summierung über alle \(N!\) Permutationen der Ziffern \(1, 2, \dots, N\) zu geschehen hat, und das Vorzeichen sich nach dem Signum der Permutationen richtet. Spezialisierungen ergeben aus (1) und (2) noch weitere merkwürdige Formeln.