Criteria for the solution of a certain quadratic diophantine equation. (Q572088)

Die Frage nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Lösbarkeit der diophantischen Gleichung \[ ax^2 + by^2 + cz^2 + du^2 = 0 \tag{1} \] mit von Null verschiedenen, ganzzahligen Koeffizienten \(a, b, c, d\) ist mehrfach behandelt worden; jedoch fehlte bisher ein die Frage vollständig beantwortendes Kriterium. Auch die von \textit{Mordell} (vgl. das vorangehende Referat) angegebenen Bedingungen sind, wie Verf. zeigt, nicht immer zutreffend. Verf. gibt das folgende vollständige System von notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Lösbarkeit der Gleichung (1) an (hierbei wird selbstverständlich vorausgesetzt, daß \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) quadratfrei und zu je dreien teilerfremd sind, ferner wird gesetzt: \[ \begin{matrix} \l & \l \\ a = (a, b) (a, c) (a, d) \alpha, \quad & b = (a,b) (b, c) (b, d) \beta, \\ c = (a, c) (b, c) (c, d) \gamma, \quad & d = (a, d) (b, d) (c, d) \delta, \end{matrix} \] wo \((u, v)\) den größten gemeinsamen Teiler von \(u\) und \(v\) bezeichnet): I. \(a, b, c, d\) haben nicht alle dasselbe Vorzeichen. II. (1) -- \( (a, c) (a, d) (b, c) (b, d) \gamma \delta\) ist quadratischer Rest für jede ungerade Primzahl \(p\), die entweder in \((a, b)\) oder in \((c, d)\) aufgeht, und für die gleichzeitig \(\alpha\beta\gamma \delta\) quadratischer Rest ist. (2) -- \((a, b) (a, d) (b, c) (c, d) \beta\delta \) ist quadratischer Rest für jede ungerade Primzahl \(p\), die entweder in \((a, c)\) oder in \((b, d)\) aufgeht, und für die \(\alpha\beta\gamma \delta\) quadratischer Rest ist. (3) -- \((a,b) (a, c) (b, d) (c, d) \beta \gamma\) ist quadratischer Rest für jede ungerade Primzahl \( p\), die entweder in \((a, d)\) oder \((b, c)\) aufgeht, und für die \(\alpha\beta\gamma \delta\) quadratischer Rest ist. III. Entweder ist (1) \(\qquad abcd \equiv 2, 3, 5, 6, 7 \pmod {8}\) \newline oder (2)\(\qquad abcd \equiv 1\) und \(a+b+c+d \equiv 0 \pmod {8}\) \newline oder (3) \(\qquad abcd \equiv 4 \pmod {8}\) und, falls \(a\) und \(b\) gerade und \(c\) und \(d\) ungerade sind, entweder \( \quad \qquad \dfrac {abcd}4 \equiv 3,5,7 \pmod {8}\) \newline oder \(\quad \qquad \dfrac {abcd}4 \equiv 1\) und \(\dfrac a2 + \dfrac b2 + c + d \equiv {\dfrac {(cd)^2 - 1}{2}} \pmod {8}\). Inzwischen hat \textit{Mordell} sein oben erwähntes System von Lösbarkeitsbedingungen vervollständigt (Bulletin A. M. S. 38 (1932), 277-282; F. d. M. 58). Er erhält ein zu dem vorstehenden System äquivalentes System.