Über eine Aufgabe von Herrn Jaenichen. (Q572133)

Die Aufgabe ist von \textit{W. Jaenichen} in Arch. d. Math. u. Phys. (3) 13 (1908), 361 gestellt worden und lautet: Es sei \(\nu_p(m)\) der Exponent der höchsten Potenz von \(p\), die in \(m!\) aufgeht. Dann ist \[ \sum_{d | n} \mu(d) \nu_p \left(\frac nd\right) = \frac{\varphi(n)}{p-1}, \quad \text{wenn } \;p\, |\, n. \] Im Falle \((p, n) = 1\) bedeutet die linksstehende Summe den Exponenten der höchsten Potenz von \(p\), die in \(\prod\limits_{\substack{ (a, n) = 1 \\ a< n }} a\) \ aufgeht. Den ersten Teil der Behauptung hat \textit{G. Szegö} bei der Lösung einer andern Aufgabe von \textit{Jaenichen} implicite bewiesen (1916; F. d. M. 46, 216 (JFM 46.0216.*)). Für den zweiten Teil gibt Verf. hier einen Beweis.