Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper. (Q572162)

Der bekannte Zusammenhang zwischen Führer und Diskriminante eines relativ abelschen Körpers \(K/k\) und seiner Zwischenkörper \(\big(\)FührerDiskriminantenformel \(\mathfrak D=\prod_\chi\mathfrak f(\chi)\big)\) wird auf Galoiskörper \(K/k\) übertragen, indem als Führer eines Charakters der Galoisgruppe definiert wird: \[ \mathfrak f({\chi},K/k)=\prod_{\mathfrak p}{\mathfrak p}^a \] mit \[ e\,a=\{e_{\chi}(1)-{\chi}({\mathfrak T})\}+\{p^{R_1}{\chi}(1)-{\chi}({\mathfrak B_1})\}+ \{p^{R_2}{\chi}(1)-{\chi}({\mathfrak B_2})\}+\cdots, \] wo \(e\) die Verzweigungsordnung von \({\mathfrak p}\), \(p^{R_i}\) die der \(i\)-ten Verzweigungsgruppe \({\mathfrak B_i}\) von \({\mathfrak p}\), das alle Primideale von \(k\) durchläuft, und \({\chi}({\mathfrak H})=\sum{\chi}(H)\) für \({\mathfrak H}=\sum H\) bedeutet. \({\mathfrak f}\) ist ein ganzes Ideal in \(k\), also der Exponent \(a\geqq0\) und ganz, und zwar \(> 0\), wenn \({\mathfrak p}\) bereits in jedem galoisschen Unterkörper verzweigt ist, in dem \({\chi}\) schon Charakter ist. -- Im abelschen Fall ist es der klassische Charakterführer. Sind \({\chi}_1\),\dots,\({\chi}_h\) die einfachen Charaktere von \(K/k\), so hat die Diskriminante die Produktdarstellung \[ {\mathfrak D}_{K/k}=\prod_{{\mu}=1}^h\big({\mathfrak f}({\chi_\mu},K/k)\big)^{\chi_{\mu}(1)}. \] Eine ähnliche Gestalt für die Diskriminante \({\mathfrak D}_{\varOmega/k}\) eines Zwischenkörpers \({\varOmega}\) läßt sich aus ihrer Darstellung als Führer \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill {\mathfrak D}_{\varOmega/k}={\mathfrak f}({\chi}_{\psi_1},K/k) \hfill} \] durch Zerlegung seines Charakters in einfache Charaktere gewinnen; hierbei ist \({\chi}_{\psi}\) der aus dem Charakter \({\psi}\) der zu \({\varOmega}\) gehörigen Untergruppe \({\mathfrak A}\) von \({\mathfrak G}\) induzierte Charakter \[ {\chi}_{\psi}({\sigma})=\sum\limits_{{\tau}}{\psi}({\sigma^{\tau}}), \] wobei die Transformierende \({\tau}\) ein innenseitiges Restsystem\(\mod{\mathfrak A}\) durchläuft und \({\psi_1}\) der Hauptcharakter von \({\mathfrak A}\) ist. Der Führer ist als ein für algebraisch konjugierte Charaktere gleichlautendes Ideal bereits durch (1) und \[ {\mathfrak f}({\chi_1}+{\chi_2})={\mathfrak f}({\chi_1}){\mathfrak f}({\chi_2}) \] charakterisiert, was aus dem hier bewiesenen Hilfssatz folgt, daß jeder rationale Charakter eine rationale Verbindung von Hauptcharakter-Induktionen ist, und die Übereinstimmung mit dem Führer der Klassenkörpertheorie zur Folge hat. Daß jeder Charakterführer ein Ideal des Grundkörpers ist, folgt erst aus einer Untersuchung über die Verzweigungszahlen, deren Ergebnis mit dem \textit{Hasse}schen (J. f. M. 162 (1930), 169-184; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 166) übereinstimmt. (III 5.)