Das Zerlegungsgesetz für die Teiler des Moduls in den Ringklassenkörpern der komplexen Multiplikation. (Q572180)

Die Arbeit bezweckt, ebenso wie die vorstehend besprochene, das Studium der Ringklassenkörper \(K_m\) über \(\varOmega\) unabhängig von der allgemeinen Klassenkörpertheorie durchzuführen. Die Zerlegungsgesetze der Primideale aus \(\varOmega\) in \(K_m\) kannte man bisher nur für solche \(\mathfrak p\), die zu \(m\) teilerfremd sind und nicht in der Diskriminante der Ringklassengleichung aufgehen. Nur für \(p=\mathfrak p\) und \(p=\mathfrak p^2\) (letzteres mit endlich vielen Ausnahmen) wird das Zerlegungsgesetz bewiesen. Jedoch stellt eine Bemerkung am Schluß die vollständige Durchführung bei einer späteren Gelegenheit in Aussicht. Das Ergebnis lautet im wesentlichen: \[ \mathfrak P=\mathfrak P_1^{p+1},\quad\text{wenn}\quad p=\mathfrak p;\qquad \mathfrak P=\mathfrak P_1^{p},\quad\text{wenn}\quad p=\mathfrak p^2;\qquad \mathfrak P_n=\mathfrak P_{n+1}^p. \] Es bedeuten: \(p\) eine natürliche Primzahl, \(\mathfrak p_n\), \(\mathfrak P\), \(\mathfrak P_n\) Primideale bzw. in \(\varOmega\), im absoluten Klassenkörper und im Ringklassenkörper \(K_{p^n}\). Die \(\mathfrak P_n\) sind vom ersten Relativgrad. (III 5, IV 6 D.)