Über einen Satz von Dickson. (Q572193)

Bei dem ganzzahligen Polynom \[ f (x)=x^k + a_1x^{k-1} +\cdots + a_k \] von ungeradem Primzahlgrad \(k\) sei der letzte Koeffizient \(a_k\) so bestimmt, daß die galoissche Gruppe von \(f (x) = 0\) mit der von \[ g(x,t) = x^k + a_1x^{k-1}+\cdots + a_{k-1}x-t \] mit variablem \(t\) übereinstimmt (nach dem \textit{Hilbert}schen Irreduzibilitätssatz existieren solche \(f (x)\)). Zerfällt \(f (x)\) nur für Primzahlmoduln der Form \(kx\pm1\) vollständig in Linearfaktoren, so ist bis auf eine lineare Transformation \[ f(x) = x^k +k\alpha x^{k-2}+k\sum\limits_{l=2}^{\frac12(k-1)} \frac{(k-l-1)(k-l-2)\cdots(k-2l+1)}{1\cdot2\cdot3\cdots l}\alpha^lx^{k-2l}, \] wobei \(\alpha\), ganzzahlig, eventuell auch Null. Durch Spezialisierung ergibt sich hieraus ein Satz von \textit{Dickson} (1897; F. d. M. 28, 135 (JFM 28.0135.*)-136) über die Einzigartigkeit dieser Polynome für die Permutationen unter den Elementen der endlichen Körper (Galoisfelder).