The zeros of Dirichlet's \(L\)-functions. (Q572204)

Verf. knüpft an an die bekannte Formel für die Anzahl \(N(T, \chi)\) der nicht trivialen Nullstellen von \(L (s, \chi)\) mit positivem Imaginärteil unterhalb von \(T\): \[ N (T, \chi) =\frac1{2\pi}T\log T-\frac1{2\pi}\left(1 + \log\frac{2\pi}K\right)T + O (\log T), \] wobei \(K\) mit dem Modul \(k\) von \(\chi\) in gewisser Weise zusammenhängt. Das Analogon dieser Formel für veränderlichen Modul \(k\) lautet: \[ N (T, \chi) =\frac1{2\pi}T\log T-\frac1{2\pi}\left(1 + \log\frac{2\pi}K\right)T + O \big(\log k(T+1)\big), \] wobei sich die \(O\)-Abschätzung auf \textit{beide} Veränderliche \(k\) und \(T\) bezieht. Ferner untersucht Verf. die Anzahl der Nullstellen \textit{aller} zu einem Modul \(k\) gehörigen \(L\)-Reihen, \(N_k(T)\), die mit der \(\zeta\)-Funktion des Körpers der \(k\)-ten Einheitswurzeln zusammenhängt, und für die die erwähnte Abschätzung liefert: \[ \begin{multlined} N_k(T) = \frac{k-1}{2\pi} T \log T + \frac1{2\pi}\bigg\{(k - 2) \log k (k -1) (1 + \log 2\pi)\bigg\}\, T\\ + O\big(k\log k(T+1)\big). \end{multlined} \] Verf. beweist unter Annahme der Richtigkeit der \textit{Riemann}schen Vermutung für alle \(L\)-Reihen, daß nicht nur die allein auf die Abhängigkeit von \(T\) bezügliche Abschätzung von \(N_k(T)\), sondern auch die angegebene, auf die Abhängigkeit von \(T\) \textit{und} \(k\) bezügliche Abschätzung verbessert werden kann zu: \[ \begin{multlined} N_k(T) = \frac{k-1}{2\pi} T \log T + \frac1{2\pi}\bigg\{(k - 2) \log k (k -1) (1 + \log 2\pi)\bigg\}\, T\\ + O\bigg(\frac{k\log k(T+1)}{\log\big(k\log(T+2)\big)}\bigg). \end{multlined} \] Ferner folgt aus der erweiterten \textit{Riemann}schen Vermutung für \[ F(s)=\prod_\chi L(s,\chi) \] (wobei über alle zu demselben Modul \(k\) gehörigen Charaktere \(\chi\) zu multiplizieren ist) gleichmäßig in \(\frac12+\delta\leqq\sigma\leqq1-\delta\) mit \(0<d<\frac14\): \[ \frac{F'}F(s)=O\big(\big\{k\log k(t+1)\big\}^{2-2\sigma}\big)\qquad (s=\sigma+it). \] (IV 4.)