Über die Kloostermanschen Summen \(S (u, v; q)\). (Q572207)

\(h\) und \(q\ge 1\) seien teilerfremd, und es sei \(\overline{h}\) so gewählt, daß \[ h\overline{h}\equiv1\pmod q\quad\text{und}\quad0<\overline{h}\le q \] ist; ferner sei \(\varepsilon=\exp\dfrac{2\pi i}q\) gesetzt. Mit ganzen \(u\) und \(\zeta\) betrachtet Verf. die Summen \[ S(u,v;q) = \sum_{h\mod q}\varepsilon^{uh+v\overline{h}} \] (vgl. \textit{H. D. Kloosterman} [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 5, 337--352 (1927; JFM 53.0346.01)]) im Fall \(q = p^m\), \(m\ge1\) und ganz, \(p\) Primzahl, auf den sie sich stets zurückführen lassen. Zunächst werden die \(S (u, v; q)\) nach dem quadratischen Restcharakter von \(u\) und \(v\) eingeteilt, da die Bestandteile in mancher Hinsicht zugänglicher sind, insbesondere zum Beweis der Tatsache, daß für \(m > 1\) und \((u, q) = (v, q) = 1\) mit von \(u\), \(v\) und \(q\) unabhängigem \(C\) wegen des Zusammenhanges mit Gaußschen Summen \[ |S(u,v;q)|<C\sqrt q \] gilt. Für \(m = 1\) ergibt sich ein solcher Zusammenhang nicht unmittelbar; aber man erhält verwandte Formeln. Ferner ergeben sich für die Quadrate der Bestandteile der aufgespaltenen Summen lineare Darstellungen durch die Bestandteile selbst mit Koeffizienten \(\le 1\), und mit diesen Bestandteilen gebildete Summen lassen sich mit Formeln aus der Theorie der quadratischen Reste in Verbindung bringen.