Über die Mittelwertsätze der Gitterpunktlehre. I. (Q572224)

Nach einer eingehenden historischen Einleitung, in der er die wichtigsten Ergebnisse über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden zusammenfaßt, wendet sich Verf. dem eigentlichen Gegenstande der ersten Arbeit zu, der in der Abschätzung der Integrale \[ R(x)=\frac1x\int\limits_{0}^{x}|P(y)|\,dy\text{ und } T(x)=\bigg(\frac1x\int\limits_{0}^{x}P^2(y)\,dy\bigg)^{\frac12} \] besteht. Darin ist \(P(y)\) der ``Gitterrest'', d.h. die Differenz zwischen Gitterpunktsanzahl und Volumen, für das abgeschlossene Ellipsoid \(Q (u)\leqq x\), wobei \(Q\) mit ganzem \(r\geqq2\) eine positiv definite quadratische Form in \(r\) Veränderlichen ist. Für diese Mittelwertintegrale erhält der Verf. Folgendes: \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \liminf_{x\to\infty}x^{\tfrac{-r+1}4}R(x)>0. \hfill} \] (2) Für rationales \(Q\) (a. h. ein \(Q\), dessen Koeffizienten rational oder rationale Vielfache derselben Irrationalität sind) ist \[ \liminf_{x\to\infty}x^{-\tfrac r2+1}R(x)>0. \] (3) Für eine ``Quadratform'', d. h. eine Form von der Gestalt \(\sum\limits_{j=1}^{r}\alpha_ju_j^2\) mit positiven \(\alpha_j\), ist \[ \displaylines{\rlap{\text{für \(r = 2\)}}\hfill R (x) =O (x^{\frac14}\log^2 x), \hfill\cr \rlap{\text{für \(r = 3\)}}\hfill R (x) =O (x^{\frac12}\log x),\;\hfill} \] und für \(r > 3\) \[ R (x) =O (x^{\tfrac r2-1}). \] (Dies gilt für rationale \textit{und} irrationale Quadratformen.) Eine einfache Überlegung auf Grund der \textit{Schwarz}schen Ungleichung zeigt, daß es zum Beweis dieser Sätze genügt, Folgendes zu zeigen: (4) Für eine Quadratform gilt: \[ \begin{aligned} \int\limits_{0}^{x}P^2(y)\,dy=O(x^{\frac23}\log^4x)\text{ für }r&= 2,\\ \int\limits_{0}^{x}P^2(y)\,dy=O(x^2\log^2x)\text{ für }r&= 3,\\ \int\limits_{0}^{x}P^2(y)\,dy=O(x^3)\text{ für }r&= 4; \end{aligned} \] \[ \displaylines{\rlap{\indent(5)}\hfill \liminf_{x\to\infty}x^{\tfrac{-r-3}4}\int\limits_{0}^{x} \operatorname{Max}(0,P(y))\,dy>0, \hfill\cr \hfill \liminf_{x\to\infty}x^{\tfrac{-r-3}4}\int\limits_{0}^{x} \operatorname{Max}(0,-P(y))\,dy>0, \hfill} \] was reichlich genügt. (6) Für rationale Formen gilt \[ \liminf_{x\to\infty}x^{-\tfrac r2}\int\limits_{0}^{x} |P(y)|\,dy>0. \] (6) ergibt sich sehr einfach direkt durch Betrachtungen über die Irrationalität, deren rationale Vielfache die Koeffizienten von \(Q\) sind, und über ein mit dieser Irrationalität zusammenhängendes Intervall für \(x\). (5) wird bewiesen unter Benutzung des Zusammenhangs der Funktion \(P (x)\) und ihrer Integrale mit mit \textit{Bessel}schen Funktionen gebildeten unendlichen Reihen (\textit{Hardy-Landau}sche Identität). Der Grundgedanke des Ansatzes stammt von \textit{Landau} (Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen IV, Nachrichten Göttingen 1924, 137-150; F. d. M. 50, 115 (JFM 50.0115.*)-116), der ihn zum Beweis von \[ P(x) =\varOmega\bigg(x^{\tfrac{r-1}4}\bigg) \] für alle \(r\geqq2\) verwendet hat. In der in der vorliegenden Arbeit benutzten Gestalt hat zuerst Verf. diese Methode auf den zweidimensionalen Fall für allgemeinere Bereiche angewendet (1924; F. d. M. 50, 118 (JFM 50.0118.*)). Die Hauptschwierigkeit liegt im Beweis des ersten der zuletzt zitierten drei Sätze. Verf. verwendet hierzu eine Methode, in deren Richtung sich auch frühere Untersuchungen von ihm bewegen (vgl. z. B. die Arbeit des Verf. in Math. Ann. 100 (1928), 699-721; F. d. M. 54, 203 (JFM 54.0203.*)). Er geht dazu aus von der Thetareihe \[ \vartheta(s)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^2s}, \] die für \(\mathfrak R(s)> 0\) absolut konvergent ist. Mittels der nach wachsender Größe angeordneten (offenbar positiven) Werte \(\lambda_n\) der zugrundegelegten Quadratform für ganzzahlige Werte der Veränderlichen und der Anzahl \(a_n\) der Darstellungen von \(\lambda_n\) durch die Form ergibt sich für \(\mathfrak R(s) > 0\) die \textit{Dirichlet}sche Reihenentwicklung \[ \displaylines{\rlap{\indent(7)}\hfill \prod_{j=1}^r\vartheta(\alpha_js)\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}, \hfill} \] und die Koeffizientensumme \(\sum\limits_{\lambda_n\leqq x}a_n\) stellt die Gitterpunktanzahl des Bereichs \(Q (u)\leqq x\) dar. Die Koeffizienten der Reihe (7) lassen sich als Integrale in der \(s\)-Ebene darstellen, wobei der Integrationsweg eine Parallele zur imaginären Achse ist. Diese Integrale werden abgeschätzt vermittels der \textit{Hardy-Littlewood}schen Methode der \textit{Farey}zerschneidung des Integrationsweges.