On a problem in the additive theory of numbers. IV. (Q572231)

Die Arbeit schließt sich unmittelbar an an die andern unter dem gleichen Titel erschienenen Arbeiten der Verf. [Teil III ist in Math. Z. 34, 637--644 (1932; JFM 58.0186.04, Zbl 0003.34002)] erschienen. Die Verff. beschäftigen sich zunächst mit dem im vorstehenden Referat [JFM 57.0220.01] mit (1) bezeichneten Zusammenhang zwischen der Verteilung der ``\(M\)-numbers'' und der Zetafunktion und zeigen, daß das Restglied in (1) als \[ O\bigg(x^{\tfrac1N}\cdot e^{-\text{const}\,N^{-\frac32}\sqrt{\log x\log\log x}}\bigg), \] aber bei beliebigem positivem \(\delta\) nicht als \[ O\Big(x^{\frac1{2N}-\delta}\Big) \] und nicht einmal als \[ o\Big(x^{\frac1{2N}}\Big) \] abgeschätzt werden kann. Der Beweis der Abschätzung nach oben beruht auf der klassischen Tatsache, daß für die Möbiussche Funktion \(\mu(m)\) mit \[ M(t)=\sum\limits_{m=1}^{t}\mu(m) \] und mit einer positiven Konstanten \(\alpha\) \[ M(t) =O\big(te^{-2\alpha\sqrt{\log t\cdot\log\log t}}\big) \] gilt, sowie auf dem bekannten Zusammenhang zwischen \(\mu(m)\) und der Zetafunktion. Dem Beweis der beiden Abschätzungen nach unten werden Eigenschaften der Nullstellen der Zetafunktion vom Typus des Bohr-Landauschen Satzes zugrundegelegt. Durch eine Verbesserung der Methode ihrer ersten Arbeit zum vorliegenden Problem [Math. Z. 30, 433--448 (1929; JFM 55.0703.01)] ersetzen die Verf. ferner in (2) (in geringfügiger Abänderung der Bezeichnungen des vorstehenden Referats) das Restglied \[ O\bigg(n^{s-2+\tfrac2{N+1}+\varepsilon}\bigg) \] durch \[ O\bigg(n^{s-2+\tfrac1N+\tfrac1{s-1}\cdot\tfrac {N-1}N}\bigg), \] was für \(s \geqq N + 3\) besser ist. Sie benutzen dabei insbesondere statt einer Fareyreihe der Ordnung \(\Big[n^{\frac12+\tfrac1{2N}}\Big]\) eine von der Ordnung \(\Big[n^{\tfrac{s-2}{s-1}+\tfrac1{N(s-1)}}\Big]\) zur Zerschneidung des Integrationsweges. Zum Schluß beweisen die Verf. einige Identitäten für mit dem Problem zusammenhängende zahlentheoretische und analytische Funktionen, z. B. für \[ E(x)=\sum_{n=1}^{[x]}e(n), \] wobei \(e(n)\) für eine Zahl vom Typus \(M\) gleich Eins und sonst gleich Null ist, und für die erzeugende Funktion von \(E(x)\): \[ f(x)=\sum_{\nu=0}^{\infty}E_N(\nu)x^\nu. \] Vgl. das Referat im Zbl 0002.01501.