On the representations of a number as the sum of a prime and a quadratfrei number. (Q572236)

\(Q (n)\) bedeute die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe einer Primzahl und einer quadratfreien Zahl. Da offenbar \[ \sum_{\substack{ m,r\\m^2r=h}}\mu(m)=1\quad\text{oder}\quad0, \] ist, je nachdem \(h\) quadratfrei ist oder nicht, gilt \[ Q(n)=\sum_{\substack{ m,r,p\\m^2r+p=n}}\mu(m)= \sum_{m<\sqrt n}\mu(m)\pi(n;m^2,n), \tag{1} \] wo \(\pi(n;k,l)\) die Anzahl der Primzahlen \(\equiv l\pmod k\) unterhalb \(n\) bedeutet. Mit Hilfe des Primzahlsatzes für die arithmetische Progression in der einfachen Form \[ \lim_{n\to\infty}n^{-1}\log n\cdot\pi(n;k,l)=\big(\varphi(k)\big)^{-1} \] und der von \textit{Titchmarsh} herrührenden Abschätzung \[ \big|\pi(n;k,l)-n\big(\varphi(k)\log n\big)^{-1}\big|< An\big(\varphi(k)\log n\big)^{-1} \] (für \(n \geqq 2\), \(k^2\leqq n\) mit einem \(A > 1\)) (Rendiconti Palermo 54 (1930), 414-429; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 891) gewinnt Verf. aus (1) das folgende Resultat: \[ Q(n)\sim\frac{cn}{\log n}\prod_{p|n}\frac{p^2-p}{p^2-p-1}. \] Dabei ist \[ c=\prod_p\big(1-(p^2-p)^{-1}\big). \] Das besagt insbesondere, daß jede hinreichend große Zahl sich als Summe einer Primzahl und einer quadratfreien Zahl darstellen läßt.