On a function connected with a cubic field. (Q572245)

Ist \(K\) ein kubischer Körper mit der negativen Diskriminante \(d\), \(\zeta_K(s)\) die Zetafunktion in diesem Körper, \[ \frac{\zeta_K(s)}{\zeta(s)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{G(n)}{n^s},\quad\text{Re}(s)>1, \] und \(\varDelta=+\sqrt{|\alpha|}\), so bildet Verf. die Funktion \[ M(y) =\sum G(n)\cdot e^{\frac{2n\pi yi}\varDelta},\quad\text{Im}(y)>0. \] Die Funktion gestattet auch die Darstellung \[ M(y)=\frac1{2\pi i}\int_{\frac32-\infty i}^{\frac32+\infty i} \left(\frac{-2\pi yi}\varDelta\right)^{-s}\cdot\varGamma(s)\cdot \frac{\zeta_K(s)}{\zeta(s)}\,ds. \] Sie erfüllt die Funktionalgleichung \[ M(y)=-\frac1{yi}M\left(-\frac1y\right). \]