Über konjugierte Exponentenfolgen. (Q572310)

Gegeben sei eine Folge \(\{ \alpha_n \}, \, \alpha_n > 1\). Die Reihe \(\sum a_n\) heißt mit \(\{\alpha_n\}\) konvergent, wenn \[ \sum |a_n|^{\alpha_n} \] konvergiert. Die ``konjugierte'' Folge \(\{\beta_n\}\) ist durch \[ \frac{1}{\alpha_n} + \frac{1}{\beta_n} = 1 \] erklärt. Bewiesen wird: Notwendig und hinreichend dafür, daß die Reihe \(\sum a_n b_n\) für feste \(b_n\) und jede mit \(\{\alpha_n\}\) konvergente \(\sum a_n\) konvergiere, ist: I. Die Existenz einer Zahl \(k, \, 0< k < 1\), so daß \(\sum (k b_n)\) mit \(\{\beta_n\}\) konvergiert. II. Wenn \(\alpha_n \geqq \alpha > 1\) ist, daß die \(\sum b_n\) mit \(\{\beta_n\}\) konvergiert. II ist die Verallgemeinerung eines bekannten \textit{Landau}schen Ergebnisses \((\alpha_n \equiv \alpha, \quad \text{also} \quad \beta_n \equiv \beta)\) (1907; F. d. M. 38, 296 (JFM 38.0296.*)). Ferner gilt: III. Es sei \(\alpha_n > \alpha \geqq 1\). Notwendig und hinreichend dafür, daß die Konvergenz von \(\sum a_n\) mit der Folge \(\{\alpha_n\}\) bzw. \(\{\alpha\}\) äquivalent sei, ist die Existenz einer Zahl \(k, \, 0 < k < 1\), so daß \(\sum k\) mit \(\{\gamma_{\nu}\}\), \[ \gamma_{\nu} = \frac{\alpha_{\nu}}{\alpha_{\nu}-\alpha}, \] konvergiert. Diese Sätze werden ferner auf Funktionen \(f\) der Klasse \(L^{\alpha(x)}\), d. h. für die \[ \int\limits_{0}^{1} |f(x)|^{\alpha(x)} \, dx \] existiert, übertragen. Man erhält so Verallgemeinerungen bekannter Ergebnisse für die Klassen \(L^{\alpha}\). Endlich werden verschiedene Anwendungen auf Orthogonalentwicklungen gegeben (vgl. die Arbeit des Verf. in Studia 1 (1929); 1-39, 241-255; JFM 55.0164.*).