Remarques sur la convergence des séries doubles. (Q572314)

Nach \textit{Pringsheim} (1900; F. d. M. 41, 332 (JFM 41.0332.*)) heißt eine Doppelreihe \(\sum\limits_{i,j=0}^{\infty} a_{ij}\) mit den Teilsummen \(s_{\mu \nu}=\sum\limits_{i=1}^{\mu} \sum\limits_{j=1}^{\nu} a_{ij}\) konvergent zum Werte \(s\), wenn nach Wahl von \(\varepsilon > 0\) ein \(p\) so angebbar ist, daß \[ |s_{\mu \nu} - s| < \varepsilon \] für \(\mu > p\) und \(\nu > p\) ist. Verf. nennt dies \textit{Rechtwinkel-Konvergenz} (convergence par rectangles) und verwendet daneben die folgende, von ihm früher (1930; JFM 56.0204.*-205) schon eingeführte Konvergenzdefinition: \(\alpha\) und \(\beta\) seien nicht negative Zahlen; die Doppelreihe \(\sum\limits_{i,j=1}^{\infty} a_{ij}\) heißt in der Richtung \((\alpha, \beta)\) konvergent zum Werte \(s\) (bzw. divergent), wenn die Reihe \(\sum\limits_{\lambda=0}^{\infty} \sum\limits_{\alpha i+\beta j = \lambda} a_{ij}\), d. h. die Folge \((\sigma_{\lambda})\) mit \(\sigma_{\lambda}= \sum\limits_{\alpha i+\beta j \leqq \lambda} a_{ij}\), gegen \(s\) konvergiert (bzw. divergiert). Teils unter Hinweis auf diese vorangehende Arbeit, teils neu wird gezeigt: (1) Eine in jeder Richtung \((\alpha, \, \beta)\) konvergente Doppelreihe kann rechtwinkel-divergent sein. (2) Jede gleichzeitig rechtwinkel-konvergente und in der Richtung \((\alpha, \, \beta)\) konvergente Doppelreihe konvergiert in beiden Fällen zum selben Wert, sofern sie beschränkt ist. (3) Eine Doppelreihe kann in verschiedenen Richtungen zu verschiedenen Werten konvergieren. Schließlich wird noch eine Doppelreihe angegeben, die in einer Richtung divergiert, in allen andern aber konvergiert und auch rechtwinkel-konvergent ist. Alle diese Ergebnisse lassen sich auf mehrfache Reihen ausdehnen.