On ranges of inconsistency of regular transformations, and allied topics. (Q572318)

Es wird nach den möglichen regulären Transformationen einer gegebenen Folge gefragt und gezeigt: I. Jede beschränkte divergente Folge ist durch reguläre Matrizen in eine vorgegebene beschränkte Folge \((\sigma_n)\), jede unbeschränkte Folge durch (reguläre) Matrizen der Eigenschaft \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_{nk}| = 1, \quad a_{nk} = 0 \, \text{bei festem} \, k \, \text{und} \, n>n_k, \, \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{nk} = 1 \hfill } \] in eine vorgegebene beliebige Folge \((\sigma_n)\), jede konvergente Folge mit mindestens einem von \(0\) verschiedenen Gliede durch Matrizen der Eigenschaft (1) in eine vorgegebene, zum selben Wert konvergente Folge \((\sigma_n)\) transformierbar. Unter andern Forderungen an Ausgangsfolge und Transformation werden ähnliche Resultate gewonnen. II. Jede beliebige Folge \((s_n)\) ist durch Matrizen der Eigenschaft \[ \displaylines{\rlap{(2)} \hfill a_{nk} \geqq 0 \, \text{für jedes} \, n \, \text{und} \, k, \, a_{nk} = 0 \, \text{bei festem} \, k \, \text{und} \, n>n_k, \, \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_{nk} = 1 \hfill } \] in eine Folge transformierbar, deren Häufungspunkte als abgeschlossene Menge im Kern von \((s_n)\) vorgeschrieben sind. Nach dem \textit{Knopp}schen Kernsatz (M. Z. 31 (1929), 97-127; JFM 55.0730.*-731) ist dies das Äußerste, was durch solche Matrizen erreichbar ist. Der letzte ``Satz'' der Arbeit, daß eine zum Werte \(s\) konvergente Folge \((s_n)\) durch eine reguläre Transformation (nicht notwendig Matrizentransformation) in eine vorgegebene, gegen \(s\) strebende Folge \((\sigma_n)\) überführbar ist, ist nach Definition der Regularität trivial; eine entsprechende Anmerkung des Verf. fehlt.