On complex methods of summability. (Q572325)

Die Funktionen \(a_k(t)=b_k(t)+i c_k(t)\) seien auf der unendlichen Menge \(T\) definiert (\(a_k\) komplexe, \(b_k\) und \(c_k\) reelle Funktionen; \(k = 1, 2, \ldots \)), und \(t_0\) sei ein nicht zu \(T\) gehöriger Häufungspunkt dieser Menge. \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k(t) s_k \] konvergiere auf \(T\) und strebe gegen \(L\) für \(t \to t_0\) auf \(T\). Dann heißt (\(s_n\)) durch diese Methode (\(G\)) zum Werte \(L\) limitierbar, und der Verf. nennt \[ \sigma(t) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k(t) s_k \] die zu (\(G\)) assoziierte reelle Transformation \(R(G)\). Es wird nun gezeigt: Um aus einer derartigen Limitierung von (\(s_n\)) zum Werte \(L\) schließen zu können, daß \(\mathfrak{R}(s_n),\, \mathfrak{I}(s_n)\) und (\(\bar{s}_n\)) zu \(\mathfrak{R}(L), \, \mathfrak{I}(L)\) und \(\bar{L}\) limitierbar sind, ist notwendig und hinreichend, daß \(R (G)\) ein stärkeres Verfahren als (\(G\)) ist; bei \textit{beschränktem} (\(s_n\)) und solchem (\(G\)), für das \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} |c_k(t)|\) auf \(T\) konvergiert und \[ \lim \sum\limits_{k=1}^{\infty} |c_k(t)| = 0 \] für \(t \to t_0\) auf \(T\) ist, gut entsprechendes für \(\mathfrak{R}(s_n)\) usw.; aber diese Bedingung ist für beschränkte Folgen nicht notwendig und für unbeschränkte weder notwendig noch hinreichend.