Sur des limites dépendant des moyennes de Holder et Cesàro. (Q572326)

In Verallgemeinerung eines von \textit{I. Schur} herrührenden Satzes (Math. Ann. 74 (1913), 447-458; im Referat (F. d. M. 44, 280 (JFM 44.0280.*)) wird dieser Satz nicht genannt) wird bewiesen: \(s^{(r)}_n\) sei das \(n\)-te \textit{Hölder}sche Mittel \(r\)-ter Ordnung der Folge (\(s_n\)) (\(r \geqq 1\) ganz). Aus \[ t_n=a_0 s_n + a_1 s^{(1)}_n + \cdots + a_r s^{(r)}_n \to 0 \] folgt \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad s_n \to 0\) \noindent dann und nur dann, wenn die Realteile der Nullstellen des Polynoms \[ a_0 x^r + a_1 x^{r-1} + \cdots + a_r \] kleiner als 1 sind. Ein Satz mit etwas abgeänderten Bedingungen gilt für die entsprechenden \textit{Cesàro}schen Mittel. Beide Sätze lassen sich einfach auf den Fall ausdehnen, daß (\(s_n\)) bzw. (\(t_n\)) zu einem von Null verschiedenen Wert konvergieren.