Über den Permanenzsatz gewisser Limitierungsverfahren für Doppelfolgen. (Q572332)

Die Limitierungsverfahren werden definiert mit Hilfe zweier mit \(A\) und \(B\) bezeichneten Folgen \(a_{mn}\) und \(b_{mn}\, (m \geqq n; m, n = 0, 1, 2, \ldots)\), die folgenden Bedingungen genügen: (a) Es ist bei festem \(p \quad \lim a_{mp}=\lim b_{mp}=0\); (b) es sind \(\sum\limits_{i=1}^{m} |a_{mi}|\) und \(\sum\limits_{i=1}^{m} |b_{mi}|\) für jedes \(m\) kleiner als eine Konstante \(K\); (c) es gilt \(\lim \, \sum\limits_{i=1}^{m} a_{mi} = \lim \, \sum\limits_{i=1}^{m} b_{mi}=1\). Die Doppelfolge \(s_{\mu \nu}\, (\mu, \nu = 0, 1, 2, \ldots)\) heißt nun (1) \textit{zur Klasse} \((A, B)\) \textit{gehörig}, wenn die Doppelfolge \[ S_{m,n}=\sum\limits_{\mu, \nu=0}^{m,n} a_{m \mu} b_{n \nu} s_{\mu \nu} \] beschränkt ist; (2) (\(AB\))-\textit{limitierbar zum Wert} \(s\), falls \(\lim S_{m,n} = s\) ist. Verf. beweist: I. Eine zur Klasse (\(A, B\)) gehörige, gegen den Wert \(s\) konvergierende Doppelfolge \(s_{\mu \nu}\) ist auch (\(AB\))-limitierbar zum Wert \(s\). II. Jede konvergente und (\(A, B\))-limitierbare Doppelfolge \(s_{\mu \nu}\) gehört zur Klasse (\(A, B\)), falls die Doppelfolgen (\(A\)) und (\(B\)) außer (\(a\)) bis (\(c\)) noch folgende Voraussetzung erfüllen: (d) Zu zwei beliebig gewählten Zahlen \(p\) und \(P\) gibt es mindestens ein System von Indices \(\varrho_0<\varrho_1< \cdots <\varrho_p\) und \(\sigma_0<\sigma_1< \cdots <\sigma_p\) mit \(\varrho_0>P, \, \sigma_0 > P\), so daß die Determinanten \[ \begin{vmatrix} a_{\varrho_0,0} & \ldots & a_{\varrho_0,p} \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ a_{\varrho_p,0} & \ldots & a_{\varrho_p,p} \end{vmatrix} \quad \text{und} \quad \begin{vmatrix} b_{\sigma_0,0} & \ldots & b_{\sigma_0,p} \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ b_{\sigma_p,0} & \ldots & b_{\sigma_p,p} \end{vmatrix} \] von Null verschieden sind. Wenn eine gegen den Wert \(s\) konvergierende Doppelfolge nach einem der betrachteten Limitierungsverfahren zum Wert \(S\) limitierbar ist, so gilt \(s = S\), auch wenn (d) nicht erfüllt ist. Das durch \[ S_{m,n}=\frac{1}{2^{m+n}}\sum\limits_{\mu=0}^{m}\sum\limits_{\nu=0}^{n} {m \choose \mu} {n \choose \nu} s_{\mu \nu} \] definierte \(E_1\)-Verfahren genügt den Voraussetzungen (a) bis (d); dagegen genügt das durch \[ S_{m,n} = \frac{1}{(m+1)(n+1)} \sum\limits_{\mu=0}^{m}\sum\limits_{\nu=0}^{n} s_{\mu \nu} \] definierte \(H_1\)-Verfahren nur den Voraussetzungen (a) bis (c).