Transformations of double sequences with application to Cesàro summability of double series. (Q572333)

\((x_{mn})\) sei eine Doppelfolge, (\(a_{mnkl}\)) eine vierdimensionale Matrix reeller oder komplexer Zahlen mit \(a_{mnkl} = 0\), falls \(k>m\) oder \(l > n\) oder beides der Fall ist. Die Doppelfolge mit den Gliedern \[ y_{mn} = \sum\limits_{k,l=1}^{m,n} a_{mnkl} x_{kl} \] heißt die doppelte \(A\)-Transformation von (\(x_{mn}\)). Wenn diese Transformation jeder im \textit{Pringsheim}schen Sinne konvergenten Doppelfolge (\(x_{mn}\)) \textit{einer bestimmten Klasse} eine zum selben Werte konvergente Doppelfolge (\(y_{mn}\)) zuordnet, wird sie ``regulär für die Folgenklasse'' genannt. Es wird nun gezeigt: Wenn (\(a_{mk}^{'}\)) und (\(a_{nl}^{''}\)) im \textit{Toeplitz}schen Sinne regulär sind, so ist die doppelte \(A\)-Transformation mit der Matrix \[ (a_{mnkl}) = (a_{mk}^{'} a_{nl}^{''}) \] regulär für die Doppelfolgen, deren einzelne Zeilen durch (\(a_{nl}^{''}\)), deren einzelne Spalten durch (\(a'_{mk}\)) in beschränkte Folgen transformiert werden. Dann wird der \textit{Robison}sche Satz mit notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Regularität beschränkter konvergenter Doppelfolgen (1926; F. d. M. 52, 223 (JFM 52.0223.*)) auf eine weitere Klasse von Doppelfolgen als die der konvergenten ausgedehnt und schließlich auf Grund der von \textit{C. N. Moore} eingeführten \textit{Cesàro}-Summierung von Doppelreihen (1913; F. d. M. 44, 297 (JFM 44.0297.*)) der folgende, von \textit{Moore} unter stark einschränkenden Voraussetzungen gegebene Satz bewiesen: Wenn eine Doppelreihe (\(C, r\))-summierbar ist, und wenn die (\(C, r + p\))-Summe jeder Zeile und jeder Spalte dieser Doppelreihe beschränkt ist (\(r \geqq 0\) ganz, \(p \geqq 1\) ganz), so ist die Ausgangsreihe zum selben Werte (\(C, r+ p\))-summierbar.