Application de quelques théorèmes d'inversion à la sommabilité exponentielle. (Q572341)

Aus der Existenz des \(B\)-Limes einer Folge \(s_n = \sum\limits_{\nu=0}^{n} u_{\nu}\) folgt bekanntlich auch diejenige für die Folge \(s_{n-1}\), aber nicht umgekehrt. Oder anders ausgedrückt: Aus \[ e^{-t} s(t) \to s \; \text{für} \; t \to + \infty \quad \text{mit} \quad s(t) = \sum\limits_{\nu=0}^{\infty} \frac{s_{\nu}}{\nu!} t^{\nu} \] folgt auch \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-t} u(t) \, dt = s \quad \text{mit} \quad u(t) = \sum\limits_{\nu=0}^{\infty} \frac{u_{\nu}}{\nu!} t^{\nu}, \] aber nicht umgekehrt. Notwendig und hinreichend dafür, daß auch diese Umkehrung gilt, ist, daß \(e^{-t} u(t) \to 0\) für \(t \to \infty\). Die Frage nach der Gültigkeit der Umkehrung kommt also auf die Frage zurück, wann aus der Existenz von \(\int\limits_{0}^{\infty} f(t) \, dt\) folgt, daß \(f(t) \to 0\) strebt für \(t \to \infty\). Dies ist, wie Verf. ohne Beweis mitteilt, für stetiges \(f(t)\) der Fall, wenn für \(h \to +0\) und beliebiges \(t'\) in \(t \leqq t' \leqq t+h\) \[ \underset{t \to \infty} {\lim \, \inf} [f(t')-f(t)] \geqq {-w(h)} 0 \] strebt. Für den im Augenblick allein interessierenden Fall \(f(t)=e^{-t} u(t)\) wird diese Bedingung noch in mehreren spezielleren Formen ausgesprochen.