A propos du théorème d'Abel sur les séries entières. (Q572342)

\(\sum\limits_{0}^{\infty} a_n z^n\) sei eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 1, und \(\sum\limits_{0}^{\infty} a_n\) konvergiere. Es ist bekannt, daß dann \(\sum\limits_{0}^{\infty} a_n z^n\) gleichmäßig im ``Winkelraum'' konvergiert. Beim Beweise dieses in seiner einfachsten Form auf \textit{Abel} zurückgehenden Satzes ist die gleichmäßige Konvergenz von \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} |z^n - z^{n+1}|\) im Winkelraum nachzuweisen. Verf. bestimmt zu diesem Zweck eine Kurve \(\varGamma_z\), die durch die Punkte \(z^n\) geht, deren Länge für jedes \(z\) des Winkelraums endlich ist und beschränkt bleibt, falls \(z\) im Winkelraum gegen 1 strebt; als solche Kurve nennt er die logarithmische Spirale \(Z = z^t\) mit \(0 \leqq t < + \infty\). Zum Schluß weist er darauf hin, wie dieselbe Methode auf gewisse Reihen der Form \(\sum\limits_{0}^{\infty} a_n f(z^n)\) angewendet werden kann. (IV 4.)