Sur le facteur de convergence des séries de polynomes. (Q572350)

Einer Polynomreihe \(\sum\limits_{n} P_n(z)\, (P_n(z)\) Polynom vom Grade \(n\)) und einem Bereich \(D\) ordnet Verf. einen ``Faktor der gleichmäßigen Konvergenz'' \(\lambda\) zu mit folgender Eigenschaft: \[ \sum\limits_{n} l^n P_n(z) \] konvergiert gleichmäßig im Innern von \(D\) für jedes \(|l| < \lambda\), und \(\lambda\) ist die größte derartige Zahl. Dann skizziert er den Beweis des folgenden Satzes: Wenn eine Polynomreihe fast überall auf einer beliebig kleinen rektifizierbaren Kurve konvergiert, so ist ihr Faktor gleichmäßiger Konvergenz für jedes endliche Gebiet positiv. In der zweiten Note werden die Fragen aufgeworfen: Wie groß ist der Konvergenzfaktor der Polynomreihe für \(D\), wenn sie auf dem Rande von \(D\) konvergiert, oder wenn sie überall in \(D\) konvergiert, aber nicht gleichmäßig, und es werden einige diesbezügliche Sätze bewiesen.