Sur la sommation des séries de Dirichlet. (Q572355)

Eine Reihe \(\sum\limits_{1}^{\infty} c_n\) heißt \((\varphi, \lambda)\)-summierbar zum Werte \(S\), wenn mit \[ A_{\varphi}(x) = \sum\limits_{\lambda_n < x} c_n \varphi(x-\lambda_n) \] der Ausdruck \(\dfrac{A_{\varphi}(x)}{\varphi(x)}\) für \(x \to \infty\) gegen \(S\) strebt. Dabei wird \(\lambda_1 \geqq 0, \, \lambda_n < \lambda_{n+1}, \, \lambda_n \to \infty\) und \(\varphi(x)\) für \(x > 0\) als stetig, positiv, nicht abnehmend, mit \[ \varphi(x) \to \infty, \quad \frac{\varphi(x+\delta)}{\varphi(x)} \to 1 \qquad (x \to \infty) \] vorausgesetzt. Für \(\varphi(x)=x^k\) bzw. \((1-e^{-x})^k, \, k > 0\), handelt es sich also um die bekannten \textit{M. Riesz}schen Mittelbildungen bei \textit{Dirichlet}schen Reihen. Bewiesen werden für die \textit{Dirichlet}schen Reihen \(\sum a_n e^{-\lambda_n s}\) die Existenz einer Abszisse \(\alpha_{\varphi}\) für die \((\varphi, \lambda)\)Summierung, ferner Sätze über die Summierbarkeit des \textit{Cauchy}schen Produkts zweier \textit{Dirichlet}scher Reihen.