A note on geometrical factorial series. (Q572358)

Es handelt sich um Reihen der Form \[ c_0 + \sum\limits_{\nu=1}^{\infty} \frac{c_{\nu}}{(x-q)(x-q^2) \ldots (x-q^{\nu})}. \] Wenn man von den Ausnahmepunkten \(x=q^{\nu}\) absieht, konvergiert eine solche Reihe stets gleichzeitig mit der Reihe \(\sum c_{\nu} x^{-\nu}\). Eine für \(|x| > R\) reguläre Funktion, die auch im Unendlichen noch regulär ist, läßt sich auf eine und nur eine Weise in eine solche Reihe entwickeln, und zwar ist \[ \begin{aligned} c_0 &= f(\infty), \quad c_1 = \frac{1}{2 \pi i} \int f(z) \, dz, \\ c_{\nu} &= \frac{1}{2 \pi i} \int (z-q)(z-q^2) \ldots (z-q^{\nu-1}) f(z) \, dz \qquad (\nu \geqq 2), \end{aligned} \] wobei das Integral in positiver Richtung über einen Kreis um den Nullpunkt mit einem Radius größer als \(R\) zu erstrecken ist. Verf. schreibt unter dem Integral zwar \(f(z) - c_0\) statt \(f(z)\); doch liefert das Glied \(-c_0\) zum Integral offenbar nur den Beitrag \(0\). Weiterhin formale Regeln über Multiplikation, Differentiation und Integration solcher Reihen. In der Note ``An acknowledgment'' teilt Verf. mit, daß sich die Ergebnisse aus der vorliegenden Arbeit zum Teil bereits \textit{F. Ryde} (1921; F. d. M. 48, 529 (JFM 48.0529.*)) finden.