Zum Beweise des Häufungsstellenprinzips für Funktionen. (Q572366)

Das Häufungsstellenprinzip für Funktionen besagt bekanntlich: Die reellen Funktionen \(f_{\nu}(x) \, (\nu = 1,2,\ldots)\) seien im abgeschlossenen Intervall \(\langle a, b \rangle\) gleichgradig stetig; d. h. zu jedem \(\varepsilon > 0\) existiere ein \(\delta(\varepsilon)>0\) derart, daß \[ |f_{\nu}(x_1) - f_{\nu}(x_2)| < \varepsilon \] gilt für alle \(\nu\) und für alle \(x_1,\,x_2\) aus \(\langle a, b \rangle\) mit \(|x_1 - x_2| < \delta(\varepsilon)\); ferner seien die \(f_{\nu}(x)\) in \(\langle a, b \rangle\) gleichmäßig beschränkt, d. h. es existiert eine Zahl \(M > 0\) derart, daß \[ |f_{\nu}(x)| \leqq M \] gilt für alle \(\nu\) und für alle \(x\) aus \(\langle a, b \rangle\). Dann enthält die Funktionenfolge \(f_{\nu}(x)\) eine in \(\langle a, b \rangle\) gleichmäßig konvergente Teilfolge. Verf. gibt für diesen Satz einen kurzen und elementaren Beweis, der sich, wie er nachträglich bemerkt hat, zum Teil im wesentlichen bereits bei \textit{F. Schürer} (1919; F. d. M. 47, 424 (JFM 47.0424.*)-425) findet. In einigen Anmerkungen setzt Verf. auseinander, welche Begriffe und Sätze aus der Theorie der Punktmengen ihn auf diesen Beweis geführt haben (insbesondere der Satz, welcher besagt, daß für die bedingte Kompaktheit eines metrischen Raumes \(\mathfrak{R}\) die totale Beschränktheit von \(\mathfrak{R}\) charakteristisch ist). (IV 3 C, IV 7.)