Über Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel. (Q572367)

\(\mathfrak{E}\) sei eine Menge von Funktionen \(f(x)\), die für alle Punkte \(x\) einer beschränkten Menge \(\mathfrak{F}\) im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum \(\mathfrak{R}^n\) definiert und auf \(\mathfrak{F}\) in der \(p\)-ten Potenz \((p > 1)\) integrierbar sind, d. h. für die \[ \int\limits_{\mathfrak{F}} |f(x)|^p \, d\sigma \] existiert. Man sagt, daß die Funktionenfolge \(f_1(x),\, f_2(x),\ldots\) auf \(\mathfrak{F}\) im Mittel gegen \(f(x)\) konvergiert, wenn \[ \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathfrak{F}} |f(x)-f_n(x)|^p \, d\sigma = 0 \] ist. Die Funktionenmenge \(\mathfrak{E}\) heißt kompakt, wenn jede Folge von Funktionen aus \(\mathfrak{E}\) eine im Mittel auf \(\mathfrak{F}\) konvergierende Teilfolge besitzt. Verf. setzt zur Abkürzung \[ f_{\varepsilon}(x) = \frac{1}{V(\varepsilon)} \int\limits_{\mathfrak{S}(x,\varepsilon)} f(y) \, d\sigma; \] dabei bedeutet \(\mathfrak{S}(x,\varepsilon)\) die Sphäre mit dem Mittelpunkt und dem Radius \(\xi, \,V(\varepsilon)\) ihren Inhalt, und es wird \(f(x)\) in jedem Punkt \(x \subset \mathfrak{R}^n\), der nicht \(\subset \mathfrak{F}\), gleich Null gesetzt. Verf. beweist den folgenden Satz: Für die Kompaktheit von \(\mathfrak{E}\) ist notwendig und hinreichend, daß folgende zwei Bedingungen zusammen erfüllt sind: (1) Es existiert eine Konstante \(K\) so, daß \[ \int\limits_{\mathfrak{F}} |f(x)|^p \, d\sigma \leqq K \] für alle Funktionen aus \(\mathfrak{E}\) gilt. (2) Zu jedem \(\delta > 0\) existiert ein \(\varepsilon > 0\) so, daß \[ \int\limits_{\mathfrak{F}} |f(x)-f_{\varepsilon}(x)|^p \, d\sigma \leqq \delta \] für alle Funktionen aus \(\mathfrak{E}\) gilt. (IV 3 C, 7.)