On many-valued Riemann-Stieltjes integration. I. (Q572428)

Die Ergebnisse der vorliegenden Abhandlung gelten fast sämtlich für Räume von beliebig vielen Dimensionen. Anknüpfend an die einwertigen Integrale definiert die Verf., indem sie sich auf die Ergebnisse ihrer Arbeit ``The algebra of many-valued quantities'' (Math. Ann. 104 (1931), 260-290; F. d. M. 57\(_{\text{II}}\)) stützt, das mehrwertige \textit{Riemann-Stieltjes}-Integral \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dg(t)) \] als die Menge der verschiedenen Grenzwerte \[ \lim\limits_{j \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n_j} f\left( \tau^{(j)}_i \right) \, \left( g\left( t^{(j)}_i \right) - g\left( t^{(j)}_{i-1} \right) \right); \] dabei ist \(\qquad \qquad a = t^{(j)}_0 < t^{(j)}_1 < \cdots t^{(j)}_{n_j} = b, \quad t^{(j)}_{i-1} \leqq \tau^{(j)}_{i} \leqq t^{(j)}_{i},\) \noindent und \[ \lim\limits_{j \to \infty} \underset{i=1,2 \cdots n_j} {\text{Max}} (t^{(j)}_{i} - t^{(j)}_{i-1}) = 0. \] Die Verf. befaßt sich dann mit dem Additionssatz, d. h. sie untersucht die Summe \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dg(t) + \int\limits_{b}^{c} f(t)\, dg(t) \qquad (a < b < c) \] und gelangt zu dem Resultat: Sind \(f(t)\) und \(g(t)\) in der Nähe von \(b\) beschränkt, und ist in dem von der Verf. definierten Sinne der Mehrdeutigkeit (vgl. ihre auf S. 282 unten angeführte Arbeit) \[ \lim\limits_{t \to b-0} f(t) = \lim\limits_{t \to b+0} f(t), \] so ist, ebenfalls im Sinne der Mehrdeutigkeit, \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dg(t) + \int\limits_{b}^{c} f(t)\, dg(t) = \int\limits_{a}^{c} f(t)\, dg(t) \qquad (a < b < c). \] Zu einem weiteren wichtigen Satz gelangt Verf., indem sie von einem eindeutigen \textit{Riemann-Stieltjes}schen Integral ausgeht: Ist \[ \int\limits_{a}^{t} h(t)\, dg(t) = G(t) \] einwertig, so ist für irgendeine beschränkte Funktion \(f(t)\) \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, h(t)\, dg(t) = \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dG(t) \] mehrwertig. Es wird eine Anzahl Sätze und Eigenschaften für diese Integrale abgeleitet.