Les valeurs moyennes des carrés de deux dérivées d'ordre consécutifs, et le développement en fraction continue de tang \(x\). (Q572439)

Gegeben sei eine Funktion \(y\) der Veränderlichen \(x\), die ebenso wie ihre ersten \(n\) Ableitungen im abgeschlossenen Intervall \(\langle -1, + 1 \rangle\) endlich und stetig sei, und die mit ihren \(n - 1\) ersten Ableitungen in den Endpunkten des Intervalls den Wert Null annehmen möge. Für die Menge der Funktionen, die diesen Bedingungen, genügen und nicht identisch Null sind, hat der Quotient \[ r_n = \frac{\int\limits_{-1}^{1} (y^{(n)})^2 \, dx} {\int\limits_{-1}^{1} (y^{(n-1)})^2 \, dx} \] für jedes \(n\) eine untere Grenze \(u^2_n\). Die ersten beiden Zahlen dieser Folge sind \(\dfrac{\pi}{2}\) und \(\pi\). Die weiteren Zahlen dieser Folge hängen einfach mit der Entwicklung von tg \(x\) in einen Kettenbruch zusammen, die nach \textit{Lambert} folgendermaßen lautet: \[ \operatorname{tg}x = \cfrac{ x }{ 1 - \cfrac{ x^2 }{ 3 - \cfrac{ x^3 }{ 5 - \ddots }}} \;. \] \(u_n\) ist die kleinste positive Wurzel der Gleichung, die man erhält, wenn man tg \(x\) gleich seinem Näherungsbruch \((n-2)\)-ter Ordnung der Kettenbruchentwicklung setzt. Verf. gibt ferner explicite die Funktionen an, für die der Quotient \(r_n\) wirklich seine untere Grenze erreicht, und zeigt, daß die unteren Grenzen mit wachsendem \(n\) gegen Unendlich streben, aber von \(n = 3\) ab kleiner als \(n \dfrac{\pi}{2}\) bleiben.