Über ein Leibnizsches Integral. (Q572448)

Bekanntlich ist es \textit{Leibniz} nicht gelungen, das Polynom \(x^4 + 1\) im Reellen in Faktoren zu zerlegen und das Integral \[ \int \frac{dx}{x^4+1} \tag{1} \] mit Hilfe elementarer Funktionen auszuwerten. Verf. teilt hier ein aus seiner Vorlesungstätigkeit stammendes Verfahren zur Auswertung von (1) mit, das rechnerisch einfacher ist als das übliche, auf der Zerlegung von \(x^4 + 1\) in zwei irreduzible quadratische Polynome beruhende. Verf. setzt einerseits \[ 1-x^2 = \sqrt{1+x^4} \cos \, u, \quad x\sqrt{2}=\sqrt{1+x^4} \sin \, u, \tag{2} \] andrerseits \[ 1+x^2 = \sqrt{1+x^4} \, \text{ch} \, v, \quad x\sqrt{2}=\sqrt{1+x^4} \, \text{sh} \, v \tag{3} \] und findet aus (2) und (3): \[ du = \sqrt{2} \frac{1+x^2}{1+x^4} \sqrt{2} \, dx, \quad dv = \sqrt{2} \frac{1-x^2}{1+x^4} \sqrt{2} \, dx, \quad \frac{1}{2\sqrt{2}} (du+dv) = \frac{dx}{1+x^4}. \] Für das Integral (1) ergibt sich somit der Ausdruck \(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(u+v) +\) const, in den nur noch die Werte für \(u\) und \(v\) einzutragen sind. Diese stellt Verf. in einfacher symmetrischer Form durch die Umkehrungsfunktionen von sin und sh dar, indem er die Funktion ar sin \(z\) einführt, die die doppelte Fläche des dem Winkel arc sin \(z\) entsprechenden Kreissektors vom Radius 1 bedeutet. (I 1.)