Sur les suites de fonctions parfaitement additives d'ensembles abstraits. (Q572469)

Gegeben sei eine abstrakte, nicht leere Menge \(\mathfrak R\) mit beliebigen Elementen. Als ``Mengenkörper'' (bezüglich \(\mathfrak R\)) bezeichnet Verf. jedes nicht leere System \(\mathfrak K\) von Untermengen von \(\mathfrak R\), das folgende zwei Eigenschaften besitzt: (1) Aus \(E\in\mathfrak K\) folgt \(\mathfrak R - E\in\mathfrak K\). (2) Aus \(E_\nu\in\mathfrak K\) für alle Elemente einer höchstens abzählbaren Folge \(E_1, E_2, \ldots\) folgt \(\sum E_\nu\in\mathfrak K\). Ferner versteht Verf. unter einer auf \(\mathfrak K\) erklärten Mengenfunktion eine Funktion \(f(E)\), die jeder Menge \(E\in\mathfrak K\) eine reelle Zahl zuordnet; er nennt \(f(E)\) \textit{total additiv} (``parfaitement additive''), wenn \[ \sum f(E_\nu)=f\left(\sum E_\nu\right) \] für jede höchstens abzählbare Menge von paarweise elementefremden Mengen \(E_1, E_2,\ldots\) aus \(\mathfrak K\) gilt. Über diese total additiven Mengenfunktionen teilt Verf. ohne Beweis die folgenden zwei Sätze mit: I. Wenn für jedes \(E\in\mathfrak K\) eine Zahl \(M_E\) (die von \(E\) abhängen kann) existiert, so daß \[ |f_n(E)|<M_E \] gilt für \(n = 1, 2,\ldots\), so existiert auch eine positive Zahl \(M\) so, daß \[ |f_n(E)|<M \] für \(n = 1, 2,\ldots\) und für jedes \(E\in\mathfrak K\) gilt. II. Wenn die Folge \(\{f_n(E)\}\) von total additiven Funktionen für jedes \(E\in\mathfrak K\) konvergiert, so ist die Grenzfunktion \(f(E)\) ebenfalls total additiv auf \(\mathfrak K\). Der Beweis von II stützt sich auf I. (II.)