Sur une propriété de la mesure de M. Lebesgue. (Q572470)

\textit{Lebesgue} hat bekanntlich den folgenden, das \textit{Lebesgue}sche Maß charakterisierenden Satz bewiesen: Eine für alle ebenen meßbaren Punktmengen definierte Mengenfunktion \(F\) ist mit dem \textit{Lebesgue}schen Maß identisch, wenn sie folgende drei Eigenschaften besitzt: \[ F(E_1 + E_2+\cdots + E_n+\cdots) = F(E_1) + F(E_2) + \cdots + F(E_n) + \cdots \tag{1} \] für jede Folge von paarweise punktfremden Mengen \(\{E_n\}\); \[ F(Q) = 1, \tag{2} \] wenn \(Q\) das Einheitsquadrat bezeichnet; \[ F(E) = F(E') \tag{3} \] für je zwei im elementargeometrischen Sinn kongruente Punktmengen. Die Verf. verallgemeinern zunächst (3). Sie nennen zwei Mengen \(E\), \(E'\) ``kongruent in bezug auf die Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\)'' (congruents relativement aux fonctions \(\varphi\) et \(\psi\)), in Zeichen \(E\sim E'\), wenn sich zwei Konstanten \(c\) und \(d\) bestimmen lassen, daß \(E\) durch die Transformation \[ x' = x + c \cdot \varphi(y), \quad y' = y + d \cdot \psi (x) \] in \(E'\) übergeführt wird; dabei sind \(\varphi\) und \(\psi\) stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen, deren jede auf einer höchstens abzählbaren Menge verschwindet. Dann beweisen sie die folgende Verallgemeinerung des obengenannten \textit{Lebesgue}schen Satzes: Eine für alle meßbaren Punktmengen definierte Mengenfunktion \(F\) ist mit dem \textit{Lebesgue}schen Maß identisch, wenn sie folgende drei Eigenschaften besitzt: \[ \begin{aligned} &\text{(1) und (2) wie oben;}\\ & (3') \;F(E)=F(E'), \;\text{wenn} \;E\sim E'. \end{aligned} \] Beim Beweis werden Untersuchungen über geometrische Wahrscheinlichkeiten (vgl. z. B. \textit{Hostinský}, 1925; F. d. M. 51, 400 (JFM 51.0400.*)) benutzt.