Sur les fonctionnelles linéaires et continues. (Q572475)

In der vorstehend besprochenen Arbeit des gleichen Verf. ist der Satz erwähnt, daß die beiden Aussagen \(J(E)\) ist eine \(\mu\)-stetige Mengenfunktion und Es existiert eine \(\mu\)-integrierbare Funktion \(f(x)\), so daß \(J(E)=\int\limits_E f d\mu\) ist, äquivalent sind. In der vorliegenden Note berichtet Verf., daß es mit Hilfe dieses Satzes möglich ist, den allgemeinen Satz zu beweisen, daß ein lineares reellwertiges Funktional \(u(f)\) sich stets darstellen läßt in der Form \[ u(f)=\int hfd\mu, \] wenn das als Definitionsbereich zugrunde liegende Funktionenfeld \(S\) und der Stetigkeitsbegriff von \(u\) gewissen allgemeinen Bedingungen genügt, die Verf. aufzählt. Dieser Satz ist die gemeinsame Quelle der vielen wohlbekannten Darstellungssätze über lineare Funktionale verschiedener Definitionsbereiche und verschiedener Stetigkeitseigenschaften. (IV 7.)