Algebraische Repräsentanten der Funktionen ``bis auf eine Menge vom Maße Null''. (Q572478)

Die Gesamtheit der komplexwertigen, beschränkten, für alle reellen \(x\) definierten Funktionen \(f(x)\), die im \textit{Lebesgue}schen Sinne meßbar sind, kann in Klassen äquivalenter Funktionen eingeteilt werden; dabei heißen zwei Funktionen \(f\), \(g\) äquivalent, wenn \(f\neq g\) nur in einer Menge von Punkten mit dem Maß Null gilt. Unter einem ``allgemeineren Polynom'' \(p(u_1,\ldots, u_n)\) versteht Verf. eine lineare Funktion (mit komplexen Zahlenkoeffizienten) von Potenzprodukten der \(u_1,\ldots, u_n\) und der konjugiert komplexen \(\bar u_1,\ldots, \bar u_n\). Es wird gezeigt: Jeder Äquivalenzklasse \(\mathfrak K\) läßt sich eine ihr angehörige Funktion \(f_{\mathfrak K}\) als Repräsentant so zuordnen, daß folgendes gilt: Ist für irgendwelche Funktionen \(f_1,\ldots,f_n\) die Funktion \(p (f_1(x),\ldots, f_n(x))\) äquivalent Null, so gilt für die Repräsentanten \(f_{\mathfrak K_1},\ldots, f_{\mathfrak K_n}\) der durch \(f_1,\ldots, f_n\) bestimmten Klassen \[ p\left(f_{\mathfrak K_1}(x),\ldots, f_{\mathfrak K_n}(x)\right)\equiv 0. \] Es folgen Bemerkungen über Eigenschaften der Repräsentantensysteme und Verallgemeinerungen.