Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugierten Potenzen. (Q572481)

Betrachtet werden (im wesentlichen) gerade stetige Funktionen \(M (u), N (u),\ldots\) mit \[ M(0) = 0, \;M(u) > 0 \;\text{für} \;u > 0 \] und \[ \lim_{|u|\to 0}\frac{M(u)}{|u|}=0, \quad \lim_{|u|\to\infty}\frac{M(u)}{|u|}=\infty. \] Die in \(\langle 0,1\rangle\) meßbare Funktion \(f(x)\) heißt ``mit \(M\) integrierbar'', wenn \(\int\limits_0^1 M(f(x)) dx\) existiert. Die Relation \[ N(u) = O(M(u)) \] (für große \(|u|\)) ist das Kriterium dafür, daß aus der Mit-\(M\)-Integrierbarkeit stets die Mit-\(N\)-Integrierbarkeit folgt. Ist auch die umgekehrte Beziehung richtig, so erhält man das Kriterium für die Äquivalenz von \(M\) und \(N\) bezüglich Integration. Die Funktion \(N(u)\) heißt ``konjugiert'' zu \(M(u)\), wenn (1) aus der Mit-\(M\)-Integrierbarkeit von \(f\) und der Mit-\(N\)-Integrierbarkeit von \(g\) die Existenz von \(\int\limits_0^1 f(x)g(x)dx\) folgt; (2) umgekehrt aus der Existenz von \(\int\limits_0^1 f(x)g(x)dx\) für festes \(f\) und alle mit \(N\) integrierbaren \(g\) die Mit-\(M\)-Integrierbarkeit von \(f\) folgt. Die Beziehung zwischen \(N\) und \(M\) ist natürlich nicht symmetrisch. Doch sind bekanntlich die Potenzen \(|u|^\alpha\) und \(|u|^\beta\), \(\alpha>1\), \(\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=1\), zu einander konjugiert. Das Hauptergebnis der Abhandlung ist in den folgenden beiden Sätzen zu sehen: I. Notwendig und hinreichend, daß zu \(M(u)\) eine konjugierte Funktion \(N(u)\) existiert, ist \[ \begin{aligned} M(2u)& = O(M(u)) \;\text{ für große } |u|; \tag{a} \\ M(u_1)&\leqq a M (u_2) \;\text{ für große} \;|u_1|\leqq |u_2|. \tag{b} \end{aligned} \] II. Notwendig und hinreichend, daß zu \(M(u)\) eine Funktion \(N(u)\) existiert, so daß \(M\) und \(N\) untereinander konjugiert sind, ist, daß außer (a) und (b) noch die ``komplementäre'' Funktion \[ M^* (v) = \operatornamewithlimits{Max}\limits_{u\geqq 0}(uv - M(u)),\quad v\geqq 0,\quad M^* (- v) = M^* (v) \] der Beziehung \[ M^*(2v) = O(M^*(v)) \tag{c} \] für große \(|v|\) genügt. \(M^*(u)\) ist dann eine solche konjugierte Funktion. Der erste Teil der Arbeit betrifft die konjugierten Funktionen für Reihen und Integrale. Es werden sodann behandelt: 1. Fragen der Konvergenz einer Folge \(\{f_n(x)\}\) im \(M\)-Integralmittel, d. h. der Relation \[ \int\limits_0^1 M\{f_n(x)-f_m(x)\}dx\to 0;\qquad n,m\to\infty. \] Es werden die bei konjugierten Potenzen bekannten Ergebnisse auf allgemeine konjugierte Funktionen ausgedehnt. 2. Anwendungen auf Reihen, die nach den Funktionen eines in \(\langle 0,1\rangle\) orthogonalen normierten Funktionensystems \(\{\varphi_n(x)\}\) fortschreiten. Auch hier handelt es sich im wesentlichen um Ausdehnung bekannter Ergebnisse auf allgemeine \(M\)-Funktionen. Es sei etwa der folgende Satz genannt: \(T\) sei eine zeilenfinite \textit{Toeplitz}sche Matrix, und \(\{\sigma_p(x)\}\) bezeichne die Folge der \(T\)-Mittel einer solchen Orthogonalreihe. Notwendig und hinreichend dafür, daß diese Reihe die ``Fourierreihe'' einer mit \(M\) integrierbaren Funktion sei, ist, daß die \(\sigma_p(x)\) im \(M\)-Integralmittel konvergieren.