The uniform approximation of a summable function by step functions. (Q572488)

Es sei \(R\) ein abgeschlossenes beschränktes Gebiet im \(n\)-dimensionalen Raum; ferner sei \[ L_i=L_i(x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n) \] der lineare Querschnitt von \(R\) für jeden Wertekomplex \((x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)\). Es sei weiter \(f\) eine über \(R\) integrierbare Funktion, und sie sei auch integrierbar für jedes \(L_i\) (\(i = 1, 2,\ldots, n\)). Es erhebt sich die Frage, wann eine stückweise konstante Funktion \(K\) derart existiert, daß für eine gegebene Zahl \(\varepsilon >0\) \[ \int\limits_{L_i}|f-K|dx_i<\varepsilon\qquad (i=1,2,\ldots,n) \tag{1} \] ist, und zwar gleichmäßig in \(L_i\). Wenn für jedes \(\varepsilon\) eine Funktion \(K\) existiert, die die Bedingungen (1) erfüllt, so kann man zu einem gegebenen Werte von \(\varepsilon\) immer eine Funktion \(K\) so finden, daß außer (1) auch die Beziehung \[ \int\limits_R|f-K|dx_1\ldots dx_n<\varepsilon \tag{2} \] gilt. Es werden nun hinreichende Bedingungen für die Existenz von \(K\) angegeben, und für eine gewisse Klasse von Funktionen notwendige und hinreichende Bedingungen. Gleichzeitig ergeben sich dabei die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die gleichmäßige Annäherung einer integrierbaren Funktion durch eine beschränkte Funktion. Verf. behandelt im ersten Teil die Approximation einer beschränkten, im zweiten Teil die einer nicht beschränkten Funktion \(f\).