Sur les valeurs moyennes des fonctions réelles définies pour toutes les valeurs de la variable. (Q572490)

Ist \(f(x)\) eine für alle reellen \(x\) definierte und im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbare Funktion, so wird unter dem \textit{Mittelwert von \(f(x)\) an der Stelle} \(x\) der Grenzwert \[ \lim_{R\to\infty}\frac1{2R}\int\limits_{x-R}^{x+R} f(u)du=\varphi(x) \tag{1} \] verstanden, sofern dieser Grenzwert existiert. Mit Hilfe bekannter Tatsachen über die Lösungen der Funktionalgleichung \[ \psi(x)+\psi(y)=\psi(x+y) \tag{2} \] und eines Satzes von \textit{R. Baire} über die Menge der Unstetigkeitsstellen der Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen beweisen die Verf. den folgenden Satz: (3) Wenn der durch (1) definierte Mittelwert \(\varphi(x)\) der Funktion \(f(x)\) für alle reellen \(x\) existiert, dann ist \(f(x)\) eine lineare Funktion von \(x\). Die Verf. haben ferner eine Ausdehnung des Satzes (3) auf Funktionen von mehreren Veränderlichen vorgenommen. Ist \(f(x,y)\) eine für alle Paare von reellen Zahlen \(x, y\) definierte, in jedem beschränkten Gebiet im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrierbare Funktion, und existiert für den über den Kreis mit dem Mittelpunkt \((x, y)\) und dem Radius \(R\) genommenen Mittelwert \[ f_R(x,y)=\frac1{\pi R^2}\int\limits_0^R\int\limits_0^{2\pi} f(x+r\cos\delta,y+r\sin\delta)rdrd\delta \] der Grenzwert \[ \lim_{R\to\infty} f_R(x,y) = \varphi(x, y), \] so nennen die Verf. \(\varphi(x, y)\) den \textit{Mittelwert von \(f\) im Punkte \((x, y)\)}. Alsdann gilt folgender Satz: Wenn der Mittelwert \(\varphi(x, y)\) von \(f (x, y)\) in jedem Punkte \((x, y)\) existiert, und wenn überdies eine in jedem beschränkten Gebiet integrierbare positive Funktion \(\psi(x, y)\) und eine in jedem beschränkten Gebiet beschränkte positive Funktion \(R_0(x, y)\) von der Beschaffenheit existieren, daß aus \(R\geqq R_0 (x, y)\) \[ |f_R(x,y)|\leqq\psi(x,y) \] folgt, dann ist \(\varphi(x, y)\) eine in der ganzen Ebene reguläre harmonische Funktion. (IV 13.)