Sur le premier théorème de la moyenne du calcul intégral. (Q572491)

Durch wiederholte Anwendung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung wird folgender Satz über \textit{Lebesgue}sche Integrale bewiesen: Es sei \(E\) ein meßbarer Bereich; \(f\), \(g\), \(h\) seien in diesem Bereich summierbare Funktionen, wobei \(g\) und \(h\) fast überall in diesem Bereich ihr Vorzeichen nicht wechseln, während \(f\) und \(g\) gleichsinnig sind. Die Schranken von \(f\) seien \(m\) und \(M\), und es sei nach dem ersten Mittelwertsatz der Integralrechnung \[ \int\limits_E fg dP=\mu_1\int\limits_E gdP,\quad \int\limits_E fgh dP=\mu_2\int\limits_E ghdP\quad (m\leqq \mu_1\leqq M, \;m\leqq \mu_2\leqq M). \] Dann ist \(\mu_1-\mu_2\) Null oder gleichen Vorzeichens wie \(h\). (IV 3 B.)