On the approximation of continuous functions by linear combinations of continuous functions. (Q572499)

Das in der Überschrift ausgesprochene Problem wird auf geometrischem Wege vermittels der Theorie der konvexen Körper behandelt. \(\varphi_(x), \varphi_2(x),\ldots\) sei eine Folge von linear unabhängigen, in \(a\leqq x\leqq b\) stetigen Funktionen, \(f(x)\) sei eine vorgegebene, im gleichen Intervall stetige Funktion. Man betrachte im \((n+1)\)-dimensionalen euklidischen Raum die Kurven \[ \varGamma^+_{n+1}:\{x_0=f(x),x_\nu=\varphi_\nu(x)\}, \varGamma^-_{n+1}:\{x_0=-f(x),x_\nu=-\varphi_\nu(x)\} \;(\nu=1,2,\ldots,n) \] und bilde ihre konvexe Hülle \(K_{n+1}\). Die Gerade vom Ursprung nach dem Punkt \((1, 0,\ldots, 0)\) schneide den Rand von \(K_{n+1}\) im Punkte \(A_{n+1}\). Dann besteht eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß sich \(f(x)\) durch lineare Kombinationen der \(\varphi(x)\) gleichmäßig in \(a\leqq x\leqq b\) approximieren läßt, darin, daß \(\overline{OA}_{n+1}\to 0\) für \(n\to\infty\). Hieraus ergibt sich die von \textit{F. Riesz} 1911 (F. d. M. 42, 374 (JFM 42.0374.*)) angegebene Bedingung.