Sur certaines classes de fonctions continues. (Q572500)

Eine Funktion \(F(x)\) genügt nach \textit{Banach} (1926; F. d. M. 52, 241 (JFM 52.0241.*)) den Bedingungen \((T_1)\) bzw. \((T_2)\), wenn die Menge der Werte, die \(F(x)\) unendlich oft bzw. nichtabzählbar unendlich oft annimmt, das Maß Null besitzt. Verf. beweist, daß \((T_1)\) für stetige \(F(x)\) gleichwertig ist mit der Bedingung: Die Menge der Werte, die \(F(x)\) in den Punkten annimmt, in denen keine (endliche oder unendliche) Ableitung existiert, soll eine Nullmenge sein. Mittels dieser Beziehung wird der Satz, daß eine stetige Funktion beschränkter Variation die Eigenschaft \((T_1)\) besitzt (\textit{Banach}, 1925; \textit{Vitali}, 1926; F. d. M. 51, 199 (JFM 51.0199.*); 52, 240) auf die in der Theorie der \textit{Denjoy-Perron}schen Integrale (abgekürzt: ``D.-P. L'') entsprechenden stetigen Funktionen ``von verallgemeinerter beschränkter Variation im engeren Sinn'' (abgekürzt: ``VBG*'') übertragen. In diesem Zusammenhang wird ein andrer bekannter Satz folgendermaßen auf die D.-P. I. verallgemeinert: Dafür daß eine stetige, als VBG* vorausgesetzte Funktion \(F(x)\) ein D.-P. I. sei, ist notwendig und hinreichend, daß die Eigenschaft \((N^\infty)\) erfüllt ist, d. h. daß die Menge der Werte, die \(F(x)\) in den Punkten annimmt, in denen die Ableitung existiert und unendlich ist, das Maß Null besitzt. Ferner wird u. a. bewiesen: Dafür, daß eine stetige Funktion \(F(x)\) im Intervall \((a, b)\) ein D.-P. I. sei, ist notwendig und hinreichend, daß (1) \(F(x)\) die Bedingungen \((T_2)\) und \((N^\infty)\) erfüllt, und daß (2) \(F'(x)\) eine \textit{Perron}sche Oberfunktion besitzt auf der Menge von Punkten, wo \(F(x)\) differenzierbar ist. Schließlich wird gezeigt, daß die stetigen Funktionen mit den Eigenschaften \((N^{-\infty})\) bzw. \((N^{+\infty})\) eine Verallgemeinerung der beim D.-P. I. verwendeten \textit{Perron}schen Ober- und Unterfunktionen liefern. Dabei entstehen \((N^{-\infty})\) bzw. \((N^{+\infty})\) aus \((N^{\infty})\), indem unendlich durch \(-\infty\) bzw. \(+\infty\) ersetzt wird. Einige der Resultate sind schon in dem Buch des Verf. ``Zarys teorji całki'' (Theorie der Integration, polnisch; 1930, F. d. M. \(57_{\text{II}}\)) enthalten.