Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. (Q572516)

In \S\ 1 wird der im vorstehenden Referat genannte Satz bewiesen. Der Beweis stützt sich auf Polynome. In \S\ 2 wird dieser Satz verallgemeinert. An Stelle des obigen metrischen Raumes tritt ein beliebiger vektorieller, normierter und vollständiger Raum \(E\), dessen Elemente mit \(x\) bezeichnet werden; an Stelle des absoluten Betrages \[ \left|\frac{x(t+x)-x(t)}{h}\right| \] tritt eine allgemeinere, nicht negative Funktionaloperation \(U(x, t, h)\), die für \(0\leqq t<1\), \(0 < h\leqq 1-t\) definiert ist und noch bestimmten Bedingungen unterworfen wird. Für diese gilt dann der Satz: Gibt es zu zwei beliebigen positiven Zahlen \(r\) und \(M\) stets ein Element \(\bar x\) von \(E\) derart, daß \(|\bar x|< r\) ist und es zu jedem Wert \(t\neq 1\) einen Wert \(h_t>0\) gibt, für den \(U (\bar x, t, h_t) > M\) ist, so ist die Menge derjenigen Elemente von \(E\), für die an mindestens einer Stelle \(t\) der Grenzwert \[ \limsup_{h\to+0} U(x,t,h) \;\text{endlich} \] ausfällt, in \(E\) von der ersten Kategorie. Der Satz des \S\ 2 enthält den des \S\ 1.