Über die Höldersche Bedingung. (Q572517)

Aus dem zweiten Satze der vorstehenden Arbeit werden zwei speziellere Sätze abgeleitet: Satz 1. Es sei \(\omega(h)\) für \(h > 0\) definiert, und es sei \(\omega(h) > 0\), sowie \(\lim\limits_{h\to+\infty}\omega(h) = 0\). Dann bilden im metrischen Raum \(E\) aller stetigen Funktionen \(x(t)\) von der Periode 1 diejenigen, für welche \[ \limsup_{h\to+\infty}\left|\frac{x(t+h)-x(t)}{\omega(h)}\right| \] in mindestens einem Punkte \(t\) endlich ausfällt, eine Menge erster Kategorie. Satz 2. Es sei \(H(\alpha)\), wobei \(0<\alpha\leqq 1\) ist, der metrische Raum aller Funktionen \(x(t)\) von der Periode 1, die der \textit{Hölder}schen Bedingung \(|x(t+h)- x (t)|\leqq|h|^\alpha\) genügen. Dann bilden diejenigen Funktionen \(x(t)\), die in mindestens einem Punkte \(t\) für mindestens einen Exponenten \(\beta>\alpha\) einen endlichen Grenzwert \[ \limsup_{h\to+\infty}\left|\frac{x(t+h)-x(t)}{h^\beta}\right| \] ergeben, in \(H(\alpha)\) eine Menge erster Kategorie. (IV 3 A.)