Ein Beispiel zur Hölderschen Bedingung. (Q572518)

Es wird ein konkretes Beispiel zum ersten Satz der vorstehenden Arbeit konstruiert, das einfacher zu sein scheint als das erste, von \textit{Faber} (Math. Ann. 66 (1909), 81-94; F. d. M. 39, 455 (JFM 39.0455.*)) angegebene. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(\omega(h)\) positiv und nicht abnehmend im Intervall \((0,h_0)\). Bezeichnet man nun mit \(\{a_n\}\) eine Folge von natürlichen Zahlen, die den beiden Ungleichungen \[ a_{n+1}-a_n>n+1,\quad \omega\left(\frac5{3^{a_n}}\right)<\frac1{n\cdot 3^n} \] genügt, so ist für die nach dem \textit{Weierstraß}schen Muster gebaute Funktion \[ x(t)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos 3^{a_n}t}{3^n} \] in jedem Punkte mindestens eine der beiden rechtsseitigen Ableitungen nach \(\omega(h)\) unendlich. (IV 3 A.)