Über die Verallgemeinerungen des arithmetischen Mittels. (Q572532)

Es sei \(f(x)\) positiv und stetig in \(\langle 0,1\rangle\), \(M_p (f)\) der Mittelwert \(p\)-ter Ordnung, also \[ \begin{matrix}\l\\ M_p(f)=\left(\int\limits_0^1 f^p dx\right)^{\frac1p},\;\text{wenn} \;p\neq 0,\\ \\ M_0(f)=\exp\int\limits_0^1 \log f dx. \end{matrix} \tag{1} \] Ferner sei \(\varphi(t)\) für \(t>0\) positiv, stetig und monoton. Dann verstehe man unter der Transformation des arithmetischen Mittels \(A (f) = M_1 (f)\) vermöge der Funktion \(\varphi\) den Ausdruck \[ A_\varphi(f)=\varphi^{-1}A\varphi(f)= \varphi^{-1}\left(\int\limits_0^1 \varphi(f)dx\right). \tag{2} \] \(M_p\) läßt sich auffassen als \(A_{\varphi_p}\) mit \[ \varphi_p=\int\limits_1^t \tau^{p-1}d\tau. \tag{3} \] Verf. gibt nun zunächst mit Hilfe dieser Begriffsbildung einen einfachen Beweis der bekannten Eigenschaft der Potenzmittel: \[ M_p < M_q \;\text{ für } \;p < q \;\text{ und } \;f\neq\;\text{const.} \tag{4} \] Wegen der sofort zu erkennenden Invarianz von \(A_{\varphi}\) gegenüber linearen Transformationen kann man \(\varphi\) so normieren, daß z. B. \(\varphi\) monoton \textit{wächst} und \(\varphi(1)=0\) ist. Der zu beweisende Satz ergibt sich dann leicht aus dem folgenden Hilfssatz: Es seien \(\varphi\) und \(\psi\) zwei für \(t>0\) positive, stetige, monoton wachsende Funktionen; es sei \(\varphi(1) = \psi (1) = 0\), sonst aber \(\varphi < \psi\). Ferner mögen die zu \(\varphi\) und \(\psi\) gehörenden transformierten Mittel \(A_\varphi\) und \(A_\psi\) die Eigenschaft der Homogenität genießen; d. h. es soll für jedes \(f\) der hier betrachteten Art und für jede positive Konstante \(k\) gelten: \[ A_\varphi(kf)=kA_\varphi(f),\quad A_\psi(kf)=kA_\psi(f). \tag{5} \] Dann ist für jedes nicht konstante \(f\): \[ A_\varphi(f)<A_\psi(f). \tag{6} \] Der Beweis dieses Hilfssatzes erfolgt nach dem von \textit{F. Riesz} (Bollettino U. M. I. 7 (1928), 77-79; F. d. M. 54, 271 (JFM 54.0271.*)) und \textit{G. Hoheisel} (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1930, 72-82; F. d. M. \(56_{\text I}\), 172) für den Spezialfall \(M_0(f)<M_1(f)\) gegebenen Muster. Scheinbar wird beim Beweise von (4) der spezielle Charakter der Potenzmittel \(M_p\) gar nicht voll ausgenutzt, indem ``nur'' ihre Homogenitätseigenschaft herangezogen wird. Verf. zeigt jedoch, daß eben diese Homogenitätsforderung unter allen transformierten Mitteln \(A_\varphi\) gerade die Potenzmittel auszeichnet. Zum Schluß wird der Zusammenhang mit der \textit{Jensen}schen Theorie der konvexen Funktionen hergestellt, und zwar durch folgenden Satz: Soll \(A_\varphi(f)\leqq A_\psi(f)\) für jedes \(f\) gelten, so muß \(\psi(\varphi^{-1})\) eine konvexe Funktion sein. Dieser Satz lehrt, daß alle (für jedes \(f\) geltenden) Ungleichungen zwischen transformierten arithmetischen Mitteln bereits in der \textit{Jensen}schen Ungleichung für konvexe Funktionen stecken müssen.