Bemærkninger om konvekse Funktioner og Uligheder imellem Middelværdier. I, II. (Q572533)

I. Der erste Teil der Arbeit hat den Charakter eines zusammenfassenden Berichts. Wie in der vorstehend besprochenen Arbeit handelt es sich um den Zusammenhang der \textit{Jensen}schen Theorie der konvexen Funktionen mit Ungleichungen zwischen Mittelwerten eines gewissen Typs, insbesondere Potenzmitteln. Bezüglich der Begriffsbildungen und Bezeichnungen vgl. das vorstehende Referat. Ausgangspunkt ist diesmal der Begriff der konvexen Funktion. Unter den verschiedenen Definitionen der Konvexität einer Funktion \(\varphi\) führt die Forderung, daß durch jeden Punkt des graphischen Bildes von \(\varphi\) eine Gerade gehen soll, die vollständig unter (bzw. auf) dem graphischen Bild gelegen ist, zu einem besonders einfachen Beweis der \textit{Jensen}schen Ungleichung \[ \varphi(A(f))\leqq A(\varphi(f)). \tag{1} \] Man hat nämlich nur die analytische Formulierung der genannten Forderung, \[ \varphi(A_0)+\lambda(t-t_0)\leqq \varphi(t), \tag{2} \] für \(t_0 = A(f)\) und \(t = f (x)\) anzuschreiben und auf beiden Seiten zu mittein. Die in der vorstehend besprochenen Arbeit erhaltenen Ergebnisse werden durch folgenden Satz abgerundet: \(A_\varphi(f)\leqq A_\psi(f)\) für alle \(f\) gilt dann und nur dann, wenn ``\(\psi\) bezüglich \(\varphi\) konvex'' ist, d.h. wenn \(\psi(\varphi^{-1})\) konvex ist. Der Umfang der damit erfaßten Klasse von Ungleichungen wird durch die Tatsache beleuchtet, daß die transformierten arithmetischen Mittel mit den von \textit{Kolmogoroff} (1930; F. d. M. \(56_{\text I}\), 198) definierten Mitteln übereinstimmen. II. Im zweiten Teil strebt Verf. eine Verallgemeinerung der von den bisherigen Betrachtungen nicht erfaßten Ungleichungen vom \textit{Minkowski}schen und \textit{Hölder}schen Typ an und dehnt zu diesem Zweck den Begriff des transformierten arithmetischen Mittels \(A_{\varphi}\) in naheliegender Weise auf mehrere Dimensionen aus. Es sei \(f(x_1,\ldots, x_n)\) stückweise stetig in \(0\leqq x_1\leqq 1,\ldots\) \(0\leqq x_n\leqq 1\) (d. h. die Unstetigkeitspunkte sollen sich auf endlich viele Hyperebenen verteilen, auf denen \(f\) beiderseitige Grenzwerte besitzt); ferner seien die Funktionen \(\varphi_i(t)\) auf \(a<t<b\) stetig und monoton wachsend. Dann sei \[ A_{\varphi_n}^{x_n}\ldots A_{\varphi_2}^{x_2}A_{\varphi_1}^{x_1}(f) \] der Mittelwert, der entsteht, indem man zunächst auf \(f\) bei festen \(x_2,\ldots, x_n\) bezüglich \(x_1\) das Mittel \(A_{\varphi_1}\) anwendet, auf die entstehende Funktion von \(x_2,\ldots, x_n\) bei festen \(x_3,\ldots, x_n\) bezüglich \(x_2\) das Mittel \(A_{\varphi_2}\) usw. Ist noch ein weiteres System monotoner Funktionen \(\psi_i(t)\) gegeben, so kann man nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür fragen, daß für alle Funktionen \(f\) der betrachteten Art \[ A_{\varphi_n}^{x_n}\ldots A_{\varphi_1}^{x_1}(f)\leqq A_{\psi_n}^{x_n}\ldots A_{\psi_1}^{x_1}(f) \] gilt. Die Antwort erfolgt leicht dahin, daß \(\psi_i\) in bezug auf \(\varphi_i\) konvex sein muß für jedes \(i\). Schwieriger ist die Frage zu beantworten, unter welchen Bedingungen für jedes \(f\) \[ A_{\varphi_n}^{x_n}\ldots A_{\varphi_1}^{x_1}(f)\leqq A_{\varphi_{\nu_n}}^{x_{\nu_n}}\ldots A_{\varphi_{\nu_1}}^{x_{\nu_1}}(f) \] gilt, wo \(\nu_1,\ldots,\nu_n\) eine von der Identität verschiedene Permutation von \(1,\ldots, n\) sei. Als \textit{notwendig} ergibt sich, daß für alle \(i\) wieder \(\psi_i\) eine konvexe Funktion in bezug auf \(\varphi_i\) sein muß; darüber hinaus gilt jedoch noch folgendes: Bilden \(\nu_i\), \(\nu_k\) eine Inversion (\(i <k\), \(\nu_i>\nu_k\)), so muß auch \(\psi_k\) in bezug auf \(\varphi_i\) konvex sein. Diese Bedingungen sind auch hinreichend in dem speziellen Falle, daß alle Mittel Potenzmittel sind. Bezüglich dieses Falles sei auf eine inzwischen erschienene Abhandlung des Verf. in Acta Szeged 6 (1933), 67-79 (F. d. M. \(59_{\text I}\), 280-281) verwiesen, in der übrigens von \(f\) nur Meßbarkeit verlangt wird. Ferner hat Verf. inzwischen den Fall zweier Variablen unter Ausnutzung dieser Besonderheit erneut behandelt (Mat. Tidsskrift B 1933, 1-19; F. d. M. \(59_{\text I}\), 279-280).